一道几何题目中的构造之谈

摘要：几何题目是数学中常见的题目类型，在解题时需要找出已知和未知等条件，通过辅助线的添加进行合理构造，以此解决问题。

关键词：辅助线；构造法；问题

有这样一道考试题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，点D是线段AB上的一点，∠BDC=30°，求证：AD=BC。

题目分析：题目背景是等腰三角形，已知角度证明线段的等量关系，容易联想到等腰三角形的性质。细数一下，“等腰三角形三线合一”的性质便首当其冲，因此可以联想到过点A作BC边上的高线AE。继而，根据30°角的特性，容易联想到直角三角形中30°角所对边是斜边的一半，进而把角的条件转换成边的条件，此题迎刃而解。

自然解法：分别过点A 作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F。根据等腰三角形“三线合一”性质可得BC=2BE=2CE。在Rt△ADF中，∠ADF=∠BDC=30°，因此AD=2AF。要证AD=BC，只需证明CE=AF即可。

在△ACE和△CAF中，易证，∠AEC=∠CFA=90°，∠EAC=∠FCA=10°，AC=CA，∴△ACE≌CAF（AAS），∴CE=AF，进一步2CE=2AF，即BC=AD，结论得证。

此题的关键在于辅助线的合理添加，需要明确题目要考什么、要用什么。那么除了上述方法以外，还有没有别的方法解决该问题呢？下面我们看一看如何在这道几何题目中合理构造解决问题。

构造法（1）：在AB右侧以AB为边构造等边△ABE，连接CE。我们有AB=BE=AE=AC。

当然也有同学利用垂线法或者截取法解答这道题目，如果感兴趣不妨试一试。垂线法如图：分别过点D、B作DE⊥AC于E，BF⊥CD于F，并在EC上截取EH=EA；截取法如图：过点A作AE⊥BC于E，交CD于点H，在HE上截取HF=HD，连接CF。

通過这道题目，你有没有感受到构造法的魅力？如果有，也请你在以后的几何解题过程中，开动脑筋，根据已知条件合理构造吧！

作者简介：

曹艳，陕西省西安市，陕西师范大学附属中学。