由一道一元二次方程的求值问题展开的联想

余旭红

近几年中考中，一元二次方程的求值问题频频出现，这类问题起点低，立意高，同学们要学会一元二次方程的多种求解方法，灵活解决相关的求值问题.下面笔者从2018年的一道中考题出发，通过层层拓展，例举一元二次方程求值的相关思路，旨在和同学们交流探讨.

一、由一元二次方程的解的定义展开求值

例1 （2018·江苏盐城）已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）.

A.-2 B.2 C.-4 D.4

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可.

解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2.

故选：B.

【点评】解决此类问题的关键是根据一元二次方程解的定义代入求值.

拓展1 （2018·江苏扬州）若m是方程2x2-3x-1=0的一个根，则6m2-9m+2015的值为________.

【分析】根据一元二次方程的解的定义和整体思想即可求出答案.

解：由题意可知：2m2-3m-1=0，∴2m2-3m=1，∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018.

故答案为：2018.

【点评】此类问题不仅用到了一元二次方程解的定义，而且用到了整体法求整式的值.

二、由一元二次方程的求解展开求值

拓展2 （2018·山东泰安）一元二次方程（x+1）（x-3）=2x-5根的情况是（ ）.

A.无实数根

B.有一个正根，一个负根

C.有两个正根，且都小于3

D.有两个正根，且有一个根大于3

【分析】直接整理原方程，用配方法解方程得出x的值.

解：（x+1）（x-3）=2x-5，整理得：x2-2x-3=2x-5，则x2-4x+2=0，（x-2）2=2，解得：x1=2+ 2＞3，x2=2- 2，故有两个正根，且有一根大于3.

故选：D.

【点评】解决此类问题关键是化简一元二次方程，然后用适当的方法解方程求解.

拓展3 （2018·台湾）若一元二次方程x2-8x-3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a-2b之值为（ ）.

A.-25 B.-19 C.5 D.17

【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=-3，然后计算代数式a-2b的值.

解：（x-11）（x+3）=0，x-11=0或x-3=0，所……