近二年中考数学新定义型试题赏析

施存锷

近几年来全国各地中考数学试题中出现了一种“新定义”型试题.所谓“新定义”型试题，是指给出一个考生从未接触过的新概念，要求学生现学现用，其目的是考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式.这种题型问题情境新颖，阅读量明了简短，让答题者眼前一亮的同时犹如一股清新之风迎面吹来，令人神清气爽.在领略了题目的真意之后更体会到了命题人的匠心独具和创新精神.因此，越来越受到全国各地命题者的青睐，已经成为近几年中考试题中的一道亮丽风景线，是中考数学试题中的一朵奇葩.而对“新定义”试题的研究及突破对教师的教学和学生的学习都有很高的价值.下面精选几道2016、2017年全国中考数学试题中出现的“新定义”型试题作一赏析，不妥之处请批评斧正.

一、选择题

1.（2016·杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2-（a-b）2，则下列结论：

① 若a@b=0，则a=0或b=0；

② a@（b+c）=a@b+a@c；

③ 不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2；

④ 设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大.

其中正确的是（）.

A.②③④

B.①③④

C.①②④

D.①②③

解① 根据题意得a@b=（a+b）2-（a-b）2，

∴（a+b）2-（a-b）2=0，

整理得（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，

解得a=0或b=0，正确；

② ∵a@（b+c）=（a+b+c）2-（a-b-c）2=4ab+4ac，

a@b+a@c=（a+b）2-（a-b）2+（a+c）2-（a-c）2=4ab+4ac，

∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；

③ a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2-（a-b）2，

令a2+5b2=（a+b）2-（a-b）2，

解得a=0，b=0，故错误；

④ ∵a@b=（a+b）2-（a-b）2=4ab，

（a-b）2≥0，则a2-2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，

∴a2+b2+2ab≥4ab，

∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，

此时a2+b2+2ab=4ab，解得a=b，

∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C.

2.（2016·湖州）定义：若点P（a，b）在函数y=1x的图像上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=1x的一个“派生函数”.例如，点2，12在函数y=1x的图像上，则函数y=2x2+12x称为函数y=1x的一个“派生函数”.现给出以下两个命题：

（1）存在函数y=1x的一个“派生函数”，其图像的对称轴在y轴的右侧；

（2）函数y=1x的所有“派生函数”的图像都经过同一点.

下列判斷正确的是（）.

A.命题（1）与命题（2）都是真命题

B.命题（1）与命题（2）都是假命题

C.命题（1）是假命题，命题（2）是真命题

D.命题（1）是真命题，命题（2）是假命题

解（1）∵P（a，b）在y=1x上，

∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，

∴存在函数y=1x的一个“派生函数”，其图像的对称轴在y轴的右侧是假命题.

（2）∵函数y=1x的所有“派生函数”为y=ax2+bx，

∴x=0时，y=0，

∴所有“派生函数”为y=ax2+bx，经过原点，

∴函数y=1x的所有“派生函数”的图像都经过同一点，是真命题.

故选C.

二、填空题

3.（2017·山东威海）阅读理解：如图1所示，⊙O与直线a，b都相切，不论⊙O如何转动，直线a，b之间的距离始终保持不变（等于⊙O的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.

拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4所示，夹在平行线c，d之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c，d之间的距离等于2 cm，则莱洛三角形的周长为cm.

解如图3所示，由题意知AB=BC=AC=2 cm，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∴AB在以点C为圆心、2为半径的圆上，

∴AB的长为60·π·2180=2π3，

则莱洛三角形的周长为2π2×3=2π，

故答案为2π.

三、解答题

4.（2017·重庆市A卷）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）.例如，n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6.

（1）计算F（243），F（617）；

（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=F（s）F（t），当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值.

解（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；

F（617）=（617+176+671）÷111=14.

（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，

∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6.

∵F（t）+F（s）=18，

∴x+5+y+6=x+y+11=18，

∴x+y=7.

∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，

∴x=1，y=6， 或x=2，y=5， 或x=3，y=4， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2， 或x=6，y=1.

∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3.

∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5.

∴x=1，y=6， 或x=4，y=3， 或x=5，y=2，

∴F（s）=6，F（t）=12， 或F（s）=9，F（t）=9， 或F（s）=10，F（t）=8，

∴k=F（s）F（t）=12或k=F（s）F（t）=1或k=F（s）F（t）=54，

∴k的最大值为54.

综上所述，新定义题型在中考试题中以选择题、填空题、解答题的形式出现，试题涉及对纯代数或纯几何知识点或代数和几何相结合的综合题型的考查，有种乱花渐欲迷人眼的感觉，但也有其解答策略.一般是运用新定义的法则转化成常规方法解答的题型即可.新定義型试题考查了学生的阅读能力、迁移能力和创新能力，旨在培养学生自主学习、主动探究的学习方式，又给学生创造了一个探索创新的机会，是中考数学试题的一个亮点；新定义型试题鼓励重视数学应用的教与学，用相关的知识灵活解决问题.在解决这一问题的时候，阅读理解能力成为打开问题第一道大门的“金钥匙”，所以平时对学生数学阅读能力的培养必须重视起来.新定义题型立足于课标，不拘泥于课标，新颖而迷人眼的问题情境要求教师培养学生透过现象看问题本质的方法；要求教师在完成教学任务同时注重学生创新思维能力的培养，也为教师日常教学工作指明了新的导向.千变万化的题型，迥异的解答策略，是数学魅力所在，更是命题人的创新精神所在.也是我们教育工作者必备的精神品质.