非线性耦合的非局部扩散系统的临界曲面

杨丽丽，李中平

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

0 引 言

在这篇文章中，我们研究了以下非局部扩散系统的柯西问题，其初值

(1)

u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x),x∈RN,

(2)

其中p,q,r>1,J∈Cc(RN)是具有紧支集且单位可积的非负函数。*表示RN内的卷积，u0,v0,w0都是非负有界的非平凡函数。

由文献[1]可知，柯西问题(1)(2)可以表示三个相互影响的非局部扩散系统，其中u,v,w表示三个不同生物种群各自的密度,J(x,y)可以表示种群从x到y的迁移密度分布。由文献[2]可知

(3)

(4)

他们证明了柯西问题(4)与经典半热性热方程的柯西问题

(5)

关于Fujita对临界指标的研究起源于文献[4]，而Lee和Ni在文献[5]中得出了区分柯西问题(5)的全局解与爆破解的临界初值。也即对于柯西问题(5)，在p>pc这种情况下，如果令u0(x)～x-a,x→，那么对于及0

在文献[6]中，Escobedo和Herrero已经研究过耦合热方程组的柯西问题

(6)

(1)如果1

(2)如果pq>pqc，其全局解和爆破解都有可能存在。

在文献[8]中，Renclawowicz研究了柯西问题

(7)

其中

u(x,0)=u0(x)，v(x,0)=v0(x)，w(x,0)=w0(x)，x∈RN,

(8)

他得到以下结论：

(1)当1

(2)当pqr>(pqr)c时，柯西问题(7)(8)的全局解与爆破解都有可能存在。

在文献[9]中，Yang研究了柯西问题

(9)

其中p,q>1，他证明了如下结论：

(1)当1

(2)当pq>(pq)c时，柯西问题(9)的全局解和爆破解都有可能存在。

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,liminfx→xaφx>0}，

Ia={φx∈CbRN|φx≥0,limsupx→xaφx<},

受以上研究的启发，我们研究了柯西问题(1)(2)并给出如下结论。

定理1 柯西问题(1)(2)的Fujita临界曲面是

也就是说，当1(pqr)c时，在合适的初值条件下，柯西问题(1)(2)既存在全局解也存在爆破解。

在柯西问题(1)(2)中，令

设(a0,b0,c0)T是(A-I)X=2,2,2T的解，则有

其中det(A-I)=pqr-1，也即得到柯西问题(1)(2)的第二临界曲面。即有下面结论：

定理2 假设u0x=λβx,v0x=μφx,w0x=ντx,x∈RN都是非负非平凡初值。若pqr>pqrc,则(1)当a>a0,b>b0,c>c0,β∈Ia,φ∈Ib,τ∈Ic且λ,μ,ν都足够小时，柯西问题(1)(2)存在一个全局解；(2)当0

1 Fujita临界曲面

在这一节，我们将证明与Fujita临界曲面有关的定理1。

然后在Q∶=RN×0,上对(1)中第一个式子的两边同时乘以αRβR，再作积分得

(10)

(11)

其中C是R中的非负常数，利用分部积分法得

(12)

利用Fubini定理，(10)式右边的第二个式子可化为

(13)

再由ex≥1+x,有

又因为J是径向对称的，所以

(14)

那么(J*αR-αR)≥-AJR-2αRx。因而

(15)

(16)

同理可得

将以上两式代入(16)的右边，再结合Young不等式可得

(17)

化简后，有

若1

若pqr=1+2max{pq+p+1,qr+q+1,pr+r+1}/N=1+2(pq+p+1)/N,令R→，有

(18)

为了研究这种临界情况，我们构造函数ψ(x)∈D(B2),且当x∈B1时,ψ≡1。 定义

用(1)中的第一个式子乘以ψR(x)βR(t)，再在Q上作积分，

(19)

又由(11)知

(20)

结合泰勒公式，可得

其中0≤θ≤1,再结合(14)式有

令R→,则

(21)

(22)

同理可得

(23)

及

(24)

又因为pqr=1+2pq+p+1/N，则有

结合(18)，令R→，有

也即v=0，这与假设矛盾。第二种临界情况由定理1.2推理而得，在下一小节会给出详细的说明。

2 第二临界曲面

第二临界曲面是在pqr>pqrc这种情况下，用来区分全局解与爆破解在空间中的初值衰减速率的临界值。我们在证明与第二临界曲面有关的定理2前，由文献[12]，可以给出如下引理。

引理1 假设a∈(0，N)，γ(x)∈Ia，则

(25)

(26)

其中W在(3)中已经被定义过了，C>0仅与N,J有关，且

L(RN)={φ∈L(RN)|‖φφ‖L<}。

定理2的证明(1)当a0a1,c1q-2>b1,a1r-2>c1，显然有u0∈Ia1,v0∈Ib1,w0∈Ic1.由文献[12]，我们可以构造Banach空间

其中

且(u,v,w)∈X。由文献[12]可知，‖W‖L1RN=1-e-t，再结合(25)及b1p-2>a1，得

又因为

所以

(27)

其右边的第一个式子由引理1得到。因为b1p-2>a1，那么结合X的定义及(26)，有

所以

(28)

由以上类似讨论可得

再结合(27)和(28)，有

(2)不失一般性，设a∈(0,a0),u0∈Ia，则存在一个R0，使得对任意的x≥R0，都有u0≥Cx-a成立。为了构造矛盾，设柯西问题(1),(2)存在一个非负非平凡全局解(u,v,w)，结合(17) 及Young不等式可知

即对任意的R≥0，都有

成立。那么1≥CRN-a0，令R→得到矛盾。