基于期望得分函数的直觉模糊软决策方法

冯 锋, 闫梦娜, 柳晓燕

(西安邮电大学 理学院 应用数学系, 西安 710121)

自Zadeh[1]提出模糊集的概念以来, 其理论和方法已得到深入发展, 使数学的研究范围拓展到面向模糊概念及现象的建模、 分析与计算. 在Zadeh模糊集的基础上, Atanassov[2]通过引入非隶属度, 提出了直觉模糊集的概念, 使对不确定问题的描述更接近实际应用. 为了进一步拓展直觉模糊集在决策分析中的应用, Xu等[3-4]定义了直觉模糊数及其基本运算, 并提出了直觉模糊加权平均算子的概念. 软集[5]理论从参数化的角度开辟了处理不确定性的新构架, 能更方便地进行信息描述和数据处理. Maji等[6-7]对模糊集和直觉模糊集进行参数化拓展, 提出了模糊软集和直觉模糊软集的概念, 文献[8-10]进一步探讨了直觉模糊集和直觉模糊软集在决策应用中的作用.

在直觉模糊决策问题中, 直觉模糊数的排序方法具有重要作用. Chen等[11]提出了直觉模糊数得分函数的概念; Hong等[12]进一步定义了直觉模糊数的精确函数. Xu[3]基于上述两种函数提出一种排序方法. 此外, 刘华文[13]考虑犹豫度的影响提出了一种新的得分函数. 为了衡量这些排序方法的优劣, 单玉莹等[14]提出了直觉模糊数排序方法应满足的一些基本性质, 并对已有排序方法的合理性进行了检验.

本文基于直觉模糊隶属度期望值, 通过改进直觉模糊数的经典得分函数, 讨论其基本性质, 进而定义两种直觉模糊数排序方法, 并分析排序方法的合理性. 此外, 对直觉模糊软集的补运算进行推广, 并结合直觉模糊加权平均算子给出一种直觉模糊软决策方法. 实例分析验证了该方法的有效性.

1 预备知识

1.1 直觉模糊集

假设论域U是任意取定的一个非空集合.

定义1[1]映射μ:U→[0,1]称为论域U上的一个模糊集.

对于任意的u∈U, 称μ(u)为u对于模糊集μ的隶属度, 它给出了u属于μ的程度.

定义2[2]设U是论域, 称I={(u,tI(u),fI(u))|u∈U}为U上的一个直觉模糊集, 其中tI:U→[0,1]和fI:U→[0,1]分别指定了u∈U相对于直觉模糊集I的隶属度和非隶属度, 并且满足0≤tI(u)+fI(u)≤1.

此外,πI(u)=1-tI(u)-fI(u)表示U中对象u属于I的犹豫度. 特别地, 若对于任意的u∈U, 有πI(u)=0成立, 则相应的直觉模糊集I退化为经典的Zadeh模糊集.

隶属度和非隶属度构成的序对称为直觉模糊数[3]. 全体直觉模糊数之集记为Θ, 即

Θ={α=(tα,fα)∈[0,1]2|tα+fα≤1}.

则直觉模糊集I也可以等价地表示为映射I:U→Θ, 其中∀u∈U,I(u)=(tI(u),fI(u)). 直觉模糊数在评价和决策应用中具有简单而直观的实际意义. 例如, 直觉模糊数(0.7,0.1)的含义借助投票模型可解释为： 若有10位专家对某个候选方案进行投票, 则其中7人赞成, 1人反对, 2人弃权或犹豫不决.

定义3[3-4]设λ>0,A=(tA,fA)和B=(tB,fB)为两个直觉模糊数, 则它们的和、 数乘及补分别定义为：

1)A⊕B=(tA+tB-tA·tB,fA·fB)；

3)Ac=(fA,tA).

定义4[3]设αj∈Θ(j=1,2,…,n), 则定义直觉模糊加权平均算子Ξw:Θn→Θ为

Ξw(α1,α2,…,αn)=w1α1⊕w2α2⊕…⊕wnαn,

文献[3]利用数学归纳法证明了：

(1)

式(1)简化了直觉模糊加权平均算子的相关计算.

1.2 直觉模糊软集

设U是论域, EU是与U中对象相关的所有参数集, 称为参数空间, 简记为E. 通常情况下, 参数是指对象的属性、 特征或性质等. 论域U所有子集构成的类称为U的幂集, 记为P(U).

定义5[5]二元组S=(F,U)称为论域U上的一个软集, 其中A⊆E称为软集S的参数集, F: A→P(U)是一个集值映射, 称为软集S的近似函数.

定义6[6]二元组Ω=(ω,A)称为U上的一个模糊软集, 其中A⊆E称为模糊软集Ω的参数集, 映射ω: A→F(U)称为Ω的近似函数.

论域U上所有直觉模糊集构成的类记为IF(U), 则U上的直觉模糊软集定义如下.

2 直觉模糊数上的偏序关系

2.1 经典得分函数及排序方法

定义10[11-12]设α=(tα,fα)∈Θ, 映射s: Θ→[-1,1]定义为

s(α)=sα=tα-fα;

(2)

映射h: Θ→[0,1]定义为

h(α)=hα=tα+fα.

(3)

s(α)和h(α)分别称为得分函数和精确函数.

得分函数给出了衡量直觉模糊数取值优劣的判断准则, 精确函数则描述了直觉模糊数的精确程度, 精确度越高, 犹豫程度越低.

定义11[3]设A,B∈Θ, 若sAhB, 则称A比B大, 记为A>B.

定义11的排序方法可等价地刻画为如下二元关系：

A≤1B⟺(sA

可以证明≤1是Θ上的一个偏序关系.

2.2 期望得分函数及其诱导的两种偏序

定义12设α=(tα,fα)∈Θ, 定义映射δ: Θ→[0,1]为

δ(α)=δα=(tα-fα+1)/2,

(4)

δ(α)称为期望得分函数.

易证期望得分函数具有如下性质：

命题1(最值性质) 期望得分函数δ(α)满足如下性质： 1) δ(1,0)=1； 2) δ(0,1)=0.

命题2(单调性) 直觉模糊数α=(tα,fα)的期望得分函数δ(α)关于tα是严格单调递增的, 关于fα是严格单调递减的.

基于期望得分函数, 可引入如下两种比较直觉模糊数优劣的方法.

定义13设A,B∈Θ, 定义Θ上的二元关系≤2为： A≤2B⟺(tA

基于决策理论中的投票模型, ≤2的含义为： 取值为A的方案uA劣于取值为B的方案uB当且仅当uA的支持率tA严格低于uB的支持率tB, 或者当支持率相等时, uA的期望支持率δA不超过uB的期望支持率δB.

定义14设A,B∈Θ, 定义Θ上的二元关系≤3为： A≤3B⟺(δA<δB)∨(δA=δB∧tA≤tB).

基于投票模型, 可以方便地给出二元关系≤3的直观含义.

定理1二元关系≤2是Θ上的一个偏序关系.

证明： 只需证≤2满足自反性、 反对称性和传递性. 首先, ∀A∈Θ, 有tA=tA和δA=δA, 根据≤2的定义, 可得A≤2A, 即≤2满足自反性.

其次, ∀A,B∈Θ, 若A≤2B, B≤2A, 则

于是, 由期望得分函数的定义可得fA=tA+1-2δA=tB+1-2δB=fB, 则A=B, 即≤2满足反对称性.

最后, ∀A,B,C∈Θ, 若A≤2B∧B≤2C, 则

下面分4种情形分别讨论, 当tA

类似可证:

定理2二元关系≤3是Θ上的偏序关系.

下面证明直觉模糊数的和运算及数乘运算关于偏序关系≤2是保序的.

命题3设A,B,C∈Θ且B≤2C, 则A⊕B≤2A⊕C.

证明： 由定义,

A⊕B=(tA+tB-tA·tB,fA·fB),A⊕C=(tA+tC-tA·tC,fA·fC).

设B≤2C, 下面分两种情形讨论：

1) 当tB

(tA+tB-tA·tB)-(tA+tC-tA·tC)=(tB-tC)(1-tA)<0,

故

tA⊕B=tA+tB-tA·tB

于是有A⊕B≤2A⊕C.

2) 当tB=tC∧δB≤δC时, 易见

tA⊕B=tA+tB-tA·tB=tA+tC-tA·tC=tA⊕C.

又由

fB=tB+1-2δB≥tC+1-2δC=fC,

可得fA·fB≥fA·fC, 即fA⊕B≥fA⊕C. 再由期望得分函数的定义可得

故A⊕B≤2A⊕C. 证毕.

命题4设A,B∈Θ, λ为任意的正实数. 若A≤2B, 则λA≤2λB.

1) 当tA1-tB≥0且λ>0, 可得(1-tA)λ>(1-tB)λ. 于是有

tλA=1-(1-tA)λ<1-(1-tB)λ=tλB,

故λA≤2λB.

2) 当tA=tB且δA≤δB时, 易见

tλA=1-(1-tA)λ=1-(1-tB)λ=tλB.

再由λ>0且

fA=tA+1-2δA≥tB+1-2δB=fB≥0,

故λA≤2λB. 证毕.

命题5设A∈Θ, λ1和λ2为任意的正实数. 若λ1≤λ2, 则λ1A≤2λ2A.

下面假设λ1<λ2, 可分如下3种情形讨论：

1) 当0<1-tA<1时, 由(1-tA)λ1>(1-tA)λ2, 可得

tλ1A=1-(1-tA)λ1<1-(1-tA)λ2=tλ2A,

故λ1A≤2λ2A.

2) 当1-tA=0时, 有tA=1和fA=0, 则λ1A=λ2A=(1,0), 故λ1A≤2λ2A.

3) 当1-tA=1时, 有tA=0和fA=1, 则λ1A=λ2A=(0,1), 故λ1A≤2λ2A.

证毕.

命题3～命题5表明, 直觉模糊数的和及数乘运算与偏序关系≤2是相容的. 因此, 在使用直觉模糊加权平均算子进行信息集结和决策时, 利用偏序≤2给出候选方案的最终偏好排序是合理的.

下面的反例表明, 直觉模糊数的和运算关于偏序关系≤3不满足保序性.

例1设A=(0.4,0.1), B=(0.5,0.3)和C=(0.1,0.2)是3个直觉模糊数. 易见δ(A)=0.65， δ(B)=0.6, 则由偏序≤3的定义知B≤3A.

另一方面, 根据定义计算可得A⊕C=(0.46,0.02)和B⊕C=(0.55,0.06), 于是有δ(A⊕C)=0.72, δ(B⊕C)=0.745, 而由偏序≤3的定义知A⊕C≤3B⊕C, 表明和运算⊕与偏序≤3不是相容的.

3 一种新的直觉模糊软决策方法

基于直觉模糊数的期望得分函数及偏序关系≤2, 直觉模糊软决策算法步骤如下:

3) 利用层次分析法确定属性权重w=(w1,w2,…,wn);

4) 计算方案ui(i=1,2,…,m)的属性集结值

及其期望得分函数值δ(αi);

5) 按偏序≤2对属性集结值进行比较, 进而给出方案的偏好排序.

4 实例分析

下面结合网络安全评估问题说明上述直觉模糊软决策方法的有效性. 考虑以下4种网络： 金融网络u1, 军用网络u2, 企业网络u3, 民用网络u4. 将网络安全评估中5个主要指标作为决策属性, 分别为： e1表示管理安全性高, e2表示硬件安全性高, e3表示软件安全性高, e4表示维护成本高, e5表示数据安全性高.

根据本文算法, 可按照如下步骤求解此问题：

表1 直觉模糊软集

3) 利用层次分析法得到属性权重向量为

w=(w1,w2,…,w5)=(0.1,0.25,0.2,0.2,0.25).

4) 计算方案ui(i=1,2,3,4)的属性集结值αi. 由式(1)可得

类似可得：α2=(0.737 5,0.176 2),α3=(0.643 0,0.168 2),α4=(0.622 4,0.156 5).

由期望得分函数的定义, 可得属性集结值α1的期望得分值为

类似可得：δ(α2)=0.780 6,δ(α3)=0.737 4,δ(α4)=0.732 9.

5) 由上述计算结果易见tα2>tα1=tα3>tα4且δ(α1)>δ(α3), 由偏序关系≤2的定义可得α4≤2α3≤2α1≤2α2. 因此, 4种网络的最终排序为u2≻u1≻u3≻u4, 即军用网络的安全性优于金融网络的安全性, 企业网络的安全性次之, 而民用网络的安全性最低. 作为对比, 采用文献[13,16-18]中已有的几种决策方法对上述问题进行计算, 所得决策结果列于表2.

表2 几种决策方法下的排序结果

由表2可见, 不同方法的侧重点略有差异, 但所得到的排序结果均认为u2是最优方案,u4为最劣方案, 即军用网络的安全性最高, 而民用网络安全性最低. 但文献[18]中关于u1和u3的排序与其他方法给出的结果相反, 这是由于文献[18]中的方法在支持率不变时, 得分函数值SJ(α)随反对率增大而单调递增, 与得分函数的直观含义不符, 在实际应用中可能会出现问题.

综上, 本文对直觉模糊数的得分函数及排序方法进行了简要介绍, 从直觉模糊隶属度期望值的角度出发, 定义了期望得分函数及其诱导的两种偏序关系≤2和≤3, 并对一些相关的基本性质进行了讨论, 证明了偏序≤2与直觉模糊数之和及数乘运算是相容的. 此外, 综合运用直觉模糊加权平均算子、 直觉模糊软集的广义补运算和偏序≤2, 给出了一种新的直觉模糊软决策方法, 并通过算例验证了该方法的有效性.