数形结合思想在初中数学解题中的有效应用

魏 东

(江苏省常熟市孝友中学 215500)

数学思想是学习数学的本质，是理解数学和分析数学的前提基础，同时也是数学学习过程中的关键所在，它能够发展学生的智力，培养数学能力，将学习的知识有效调动起来，在解决数学问题时形成有机联系.数和形之间形态虽然不同，但却有着本质的联系.数形结合思想就是运用两者的本质关联来利用具体图像代表数的抽象内容，同时以数来表示图形的几何意义等，让数量关系和空间几何相结合来解决初中数学问题的一种有效方法.笔者从以形助数和以数助形两个方面分析案例来掌握数形结合思想的应用.

一、数形结合内涵分析

数形结合具体是指根据数和形之间的特定关系，将两者相互转化来解决数学问题的思想方法.数形结合思想的广泛应用，就是对数学问题具有的条件和结论两者关系的展示，将数之间的内在联系转变成图形来表示，将代数求解问题转化为求解几何问题，以便实现预期的解决数学问题的目的.不仅要表示出代数意义，还要揭示出几何含义，以数量关系和空间图形的两种外在形式巧妙融合，寻找契机找到解题思路.数形结合思想在初中数学解题中发挥出重要意义，直接让学生更加深刻了解数学问题的实质，将部分难题、怪题变得通俗易懂，开拓解题思路，提高了学生的解题能力.初中阶段的学生对于数学学科认识并不深刻，而数形结合思想则有助于学生从本质上掌握数学的学习.

图1

几何图形虽然直观、形象，但是从转化图形的过程来看显得有些繁琐、复杂，而以数显性就直接简化了本身的表现形式，变得更加方便，例如代数法和解析法都是对数解决数学问题的认可，这样过程会显得相对简化，言简意赅更加容易发现其中的规律，便于学生把握数量关系，运用有关的解题技巧来发散学生的思维.以数辅形详细来讲就是利用数的严谨性和产生出图形中存在的数量关系，让两者达到一致，实现精准解题，补充数本身的想象力不足和直觉欠缺问题，两者完美融合才是初中数学数形结合解题的目的.例如：在证明菱形四条边相等，对角线互相垂直的定理时(以图1为例)：已知四边形ABCD是菱形，邻边AB=AD=CD=BC,AC⊥BD呢?在证明的过程中就会运用到以前学到的有关等腰三角形的相关知识：因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CD,AD=BC,又因为AB=AD,所以AB=BC=CD=AD.因为AB=AD,所以三角形ABD是等腰三角形……,所以AO⊥BD,所以AC⊥BD.

例如在以数辅形的几何问题中，利用数形结合思想比较常见，如解析法和代数法，会在一定程度上降低难度.

二、以形助数方法的有效运用

根据实际初中数学解题的需要，从题目中的数量关系来反应到具体空间图形上把握性质，找出隐藏的关键信息，更加容易解决问题.即把抽象的数字关系和形象的图象关系相对应，才能更好展现出数学学科的魅力，从抽象化和形式化两个特点来直观呈现数学原理，构建数学模型.以形助数重点是利用图形在头脑思维中的具体性来简化问题，帮助学生提高解题效率.例如在下面以形助数的实际案例中.

例如在下面以形助数的实际案例中.

某抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2，6)，在x轴上截取的线段长度为4，对称轴方程为x-1=0，并且和直线y=x-5相交，求出抛物线的解析式，以及抛物线和直线的交点坐标.

对于抛物线类型的题目，必然要联系到坐标图，根据上述题目分析出抛物线的解析式是y=1，2x2-2，4x-3，6，在和直线方程相交的两点y值相等隐藏线索能够得出两个方程式y值相等，即y=1，2x2-2，4x-3，6=x-5，求出x值分别为7/3和1/2，将x数值代入分别得出7/3-5和-4.5，最后得出抛物线方程式和直线交点坐标.

从近年来中考数学试卷的函数题目来看，和图形的联系越来越紧密，考生离开了图形，仅仅凭借自己的想象很难全方位把握问题及条件，而主动根据题目限定条件画出图形，以形助数已经成为学生普遍通用的方法.数形结合思想的实质就是根据数据和图形之间的对应关系，将比较抽象的语言通过图形表示出来，或者是使用数学语言将图形表示出来.图形的直观化、简洁化和形象化有助于开拓学生的思路，打开思维空间，让学生培养应对较难问题的具体思考方式.因此在初中数学解题过程中，要积极运用数形结合的数学思想来解决代数问题，提高学生对整体数学问题的掌握.此外，函数及其图象可以利用直角坐标系全面深入结合数形，函数运用图象表示出来可以直观分析出函数的性质和特点，而观察函数解析式可以对应绘画出几何图形，相互之间依托解决初中数学问题，这对于数学学科的研究和把握具有很大帮助.

三、结语

综上所述，随着现代初中教育理念的创新，初中数学解题也要开始创新.数形结合思想作为帮助理解数学学科的重要思想，同时也是解题方法中不可缺失的部分，引导学生将抽象事物具体化和形象化展现出来，从而转变为图形关系，解决数学问题.初中数学包含了大量代数和几何内容，两者从形式上确有不同，但是本质上是一致的，作为数学教师应该帮助学生正视数形两者的联系，在代数和几何问题上相互融合，并且在适当情况下运用数形结合思想和启发学生思维，从多角度来看待数学问题，掌握这种解题思想在数学中的应用，同时加强学生对自我知识框架的建构，从根本上对数学知识加以灵活运用，在实践解题中挖掘学生的多种潜力，激发出学生的学习效果，普遍提高学生的学习兴趣.