无限大带电体产生的电场及其零电势点的选取

陈龙法

(石狮市第一中学 福建 泉州 362700)

无限大的带电体实际上并不存在，它只是一种模型.然而，这是一个有事实基础的模型.对于均匀带电的有限长的棒和有限大的板，在其附近的地方，只要不太靠近端点或边缘，满足适当条件后，就可被视为无限长带电棒和无限大的带电板.在电磁学中，常见的有无限长带电直线、无限长带电圆柱或圆筒、无限大带电平面等.这类带电体因电荷分布不在有限区域，不宜简单地规定无穷远处电势为零，而应根据具体问题中的电场强度空间分布特点，灵活选取合适的零电势点.

1 无限大(长)均匀带电体的电场强度

1.1 无限长均匀带电直线所产生的电场强度

【例1】如图1所示，一无限长均匀带电直线，电荷的线密度为λ(设λ为正).离带电直线为r处的任一点P的场强大小为

写成矢量形式为

图1 例1题图

1.2 无限长均匀带电圆柱面所产生的电场强度

【例2】一无限长均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为σ.求其产生的场强分布.

设场点P到轴线的距离为r.

当r>R时，即场点P在圆柱面外，如图2所示，根据高斯定理，有

由此得出

图2 点P在圆柱面外的示意图

如果令λ=2πRσ为圆柱面上单位长度的电荷量，则上式可化为

可见无限长均匀带电圆柱面外的场强，与将所带电荷全部集中在轴线上的均匀带电直线所产生的场强一样.

当r

为了求出无限长均匀带电圆柱面所在处的场强，可将这个圆柱面看成是无数多个带电直线构成，计算这些直线电荷在圆柱面上某一点P产生的电场强度.这个圆柱面的横截面是一个圆，如图3所示.图中θ角度处的线电荷dλ=σRdθ在P点产生的场强为

图3 圆柱面的横截面示意图

dE在圆柱面法线方向上的分量为

积分后得到

因此，无限长均匀带电圆柱面产生的场强分布，写成矢量式为

无限长均匀带电圆柱面产生的场强分布，用图像表示，则如图4所示.

图4 无限长均匀带电圆柱面产生的场强分布图

1.3 无限大均匀带电平面所产生的电场强度

【例3】设有一无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，求场强分布.

如图5所示，根据电场分布的对称性特点，取柱体表面为高斯面，其轴线与带电平面垂直，两底与带电面平行，并对带电平面对称.设底面面积都等于S，根据高斯定理，有

即

图5 取柱体表面为高斯面

上式表明，无限大均匀带电平面的场强E的大小与场点到带电平面的距离x无关.

写成矢量形式为

在无限大均匀带电平面的面电荷所在处，有

在带电平面的另一面，面电荷所在处，有

1.4 两个带等量异号电荷的无限大平行平面所产生的电场强度

【例4】两个相同的无限大均匀带电平行平面，相距为d，带等量异号电荷，电荷的面密度分别为σ和-σ.求其场强分布.

根据前面的分析和电场强度叠加原理，如果以两面中间为原点，沿单位矢量n的方向取x轴，n为从σ到-σ的法线方向，则两个相同的无限大均匀带电平行平面产生的电场，在各处的场强分布如下：

作出的E-x图像，如图6所示.

图6 两个带等量异号电荷的无限大均匀带电平行平面产生的场强

2 电势差及零电势点

2.1 电势差与电势

点电荷的库仑定律是一个可靠的以实验为基础的定律，是静电场的一切概念和规律的出发点.点电荷q在距离为r处产生的电场强度为

电荷所产生的静电场是保守场，因此，可以用电势来描述静电场，即对于静电场中的每一点，都可以定义一个电势φ.静电场中A，B两点的电势差通常定义为：单位正电荷从A移到B静电场力做的功，即

在点电荷q的电场中，A和B两点的电势差为

因而

φr-φ

或

式中φr，φ分别是离点电荷q为r和无穷远处的电势.

2.2 零电势点

正如物体的高度、温度等必须有参考点(零点)一样，静电场中某一点的电势也必须有一个参考点(零点).在静电场中，通常规定无穷远处的电势为零，即规定φ=0.

在这个规定下，静电场中任一点P的电势为

点电荷q在距离为r处产生的电势为

可见，电场中某一点的电势等于该点与零电势点的电势差，而且这个零电势点是人为主观规定的，并非由自然规律得出的客观结论.处理某个问题时必须采用同一个零电势点，但在不同的问题里可以选用不同的零电势点.例如，在静电学里，通常规定无穷远处的电势为零，而在电路的问题里，常规定地球的电势为零.

3 带电体为无限大时 选取无穷远处为零电势点所带来的问题

无限大带电体的电势问题，关键是如何规定零电势点的问题.

当电荷分布在有限区域时，可以规定离这些电荷为无穷远处的电势为零.这样做最方便，也不会引起任何矛盾.但当带电体为无限大时，这样做就会出问题了.

3.1 带电体为一个无限大的均匀带电平面

【例5】如图7所示，设有一个无限大的均匀带电平面，电荷的面密度为σ.若选取无穷远处的电势为零，求距离带电平面为r处的电势.

图7 例5题图

在距离带电平面为r处，电场强度为

距离带电平面为rA和rB的两点之间的电势差为

这表明在有限范围内，任意两点的电势差都具有确定的值.

图8 点P电势分析图

这里是不是积分路径移动方向出现问题所带来的错误呢？上面讲的A趋于无穷远是相对于P点的，但相对于电荷来说并不是趋于无穷远，而是仍在有限的距离内.

因而只要规定无穷远处电势为零，无论沿着什么路径方向积分，都会出现问题.

3.2 带电体为相距一定距离的两个无限大均匀带电平面

【例6】设电荷均匀分布在两个无限大的平行平面上，面电荷密度分别为σ和-σ，相距为d，如图9所示.若选取无穷远处的电势为零，求在离带电平面为r处的电势.

图9 例6题图

由此可得这两个面电荷所在处的电势差为

那么，在无限大带电体的电场中，如何解决零电势点的选取问题呢？

4 带电体为无限大时应该根据具体问题选取零电势点

当电荷分布在有限区域，规定离电荷无穷远处的电势为零对于解决问题很方便.但在处理与无限大带电体的电势有关问题时，就不宜选择无穷远处的电势为零.由于零电势点是人为规定的，因而可以根据具体情况，按照使计算尽可能简单的原则来选择电势零点.

4.1 一个无限大(长)的带电体其零电势点的选取问题

一个无限大(长)的带电体，常见的有以下几种：

(1)一个无限大的均匀带电平面

对于一个无限大的均匀带电平面，电荷的面密度为σ.可以规定平面上(即电荷所在处)的电势为零，这时，离带电平面为r处的电势为

(2)一条无限长的均匀带电直线

对于一条无限长的均匀带电直线，电荷线密度