函数的单调性在高中数学中的学习与应用

高清政

摘 要：函数的单调性也叫做函数的增减性。它指的是反馈函数随着自变量的变化，呈现正比例的变化规律。这个知识点不仅是高中教学学习的重点，同时也是难点。所以，在高中数学学习过程中，只有学好了数学函数的单调性，才能够更深的掌握数学知识。因此，本文对函数的单调性在高中数学中的应用和学习进行了详细分析，进而可以更好的让学生掌握好数学函数的单调性。

关键词：函数的单调性；高中教学；学习；应用

在对高中数学的学习过程当中，函数的单调性刻画的是两个变量之间的关系。它普遍应用在求解不等式、求最值、求取值范围以及解方程当中。在对高中数学进行学习当中，充分掌握好函数单调性的性质，并且刚好的应用在解答各种题型中，能够大大扩展学习解题的思路范围，提高解题的速度，进而达到提高学习成绩的目的。

一、函数单调性学习的重要性

在对高中数学学习的过程当中，学生基本上都已经接触了一次函数以及二次函数的有关知识，简单学习了高中函数增减性的内容。但是，在对高中数学函数单调性进行学习的过程中，如果要想更好的掌握这个知识点，需要从函数定义以及概念两个方面着手，利用数学符号和例子来进行解释，对函数单调性的定义进行全面了解。除此之外，函数单调性是变量的一个变化规律。它是学习其他函数知识的核心内容。所以，在高中函数学习过程中，需要将函数的单调性作为独立的学习单元进行学习，并且利用直观感受以及文字描述等形式，加深对它的掌握程度，进而为学习不等式以及导师等知识打下坚实的基础。

二、函数单调性在高中数学中的学习和应用

（一）函数单调性在解方程中的应用。高中数学中重要的学习部分就是对方程进行求解。函数单调性应用到解方程当中，能够大大提高解题速度，更为有效的解决方程式的问题。比如在方程式x3+2x（x+1）3+1=0当中，我们可以根据函数单调性的行医，将这个方程化简成为x3+x+[（x+1）3+x+1]=0我们设f（x）=x3+x，在区间（-∞，+∞）范围内，是单调递增的变化趋势，并且f（-x）=-f（x）是奇函数。下面我们求解f（x）+f（x+1）=0，也就是f（x+1）=-f（x）=f（-x）。我们已经知道f（x）是单调函数，转变为x+1=-x，得x=-0.5.我们通过这种方式求得方程式的解，对方程式进行简化，快速的求得方程的单调区间。

（二）函数单调性在解数列中的应用。在对高中数学的学习过程中，数列是一项重要的学习内容。同时，它还是高考的重点以及难点。在数列{an}当中，an是一个自变量是n的函数。所以，在对数列求解最值的时候，利用函数单调性来对数列进行求解，能够按照数列自变量的关系来解决问题。

例如，在已知：an=■+■+……+■，n∈N+如果an>2b-5成立，并且b是自然数，对b的最大值进行求解。在解这个数列的时候，由于an>2b-5都成立，因此转变成2b-5<|an|min，求其最小值。我们已经知道an是一个自变量是n的函数，此时应用函数的单调性来对数列进行求解，就能够快速的获得答案。

（三）函数单调性在不等式求解中的应用。在对高中数学知识进行学习时，尽管学生会按照老师要求背熟数学公式，但是在对数学题进行解答过程当中，由于自己知识结构的限制，往往造成自己在解题当中出现错误。将函数单调性应用到不等式求解过程中，能够根据不等式的分类以及数形结合的形式来对其进行解答，能够快速的求解出答案，进而提高自己的数学思维以及解题水平。

比如：在已知a，b/c∈R，|a|<1，|b|<1，|c|<1证明ab+bc+ca+1>0在对这个不等式求解过程当中，首先要利用函数的不等式，将上述不等式转化成为f（x）=（b+c）x+bc+1，如果x∈（-1，1）的时候，f（x）>0都成立。如果b+c=0的时候，f（x）=1-b2>0都成立。如果b+c不等于0的时候，一次函数f（x）=（b+c）x+bc+1，在X∈（-1，1）范围内有单调性。我们已知f（1）=bc+b+c=（b+1）（c+1）>0。求得f（x）=（b+c）x+bc+1在x∈（-1，1）范围内都大于0。所以，当a|<1，|b|<1，|c|<1的时候，（b+c）a+bc+1>0都成立。我们利用上面这种方式将不等式转化成函数，将常量看出是变量中的瞬间状态，并且设置函数单调区间，并利用函数单调性来对不等式进行验证。这样就会大大简化了解题的过程，快速求得出正确答案。

（四）函数单调性在求导中的应用。在利用函数单调性对导数进行求解过程中，我们首先需要对函数导数的定义有所了解，并且灵活的对其进行运用。只有这样，才能使导数的问题快速地解决。比如：在函数y=x2-x3+5，对这个函数的单调性进行判断，并且求出单调区间。对函数进行求导，我们首先转换成y1=2x-3，x2=x（2-3x），函数y的定义域区间实数是R。我们设函数y的导数为0，求x的解得到x1=0，x2=■，如果x∈（-∞，0），x∈（■，+∞）的時候，函数y的导数小于0，函数在x∈（-∞，0）是递减函数。如果x∈（■，+∞）的时候，函数y的导数大于0。函数在（0，2/3）范围内是单调递增函数。经过上述分析我们可以看出，在函数单调性学习当中，导数是重要的一个知识内容。利用函数的单调性对导数问题进行求解，能够更加对解题思路进行明确，进而快速的解答出正确的答案。

我们经过上述分析可以知道，在对高中数学进行学习过程中，学好高中数学函数的关键所在就是掌握好函数的单调性。函数的单调性能够掌握好关系着今后高考的成绩。所以，在平时对高中数学函数单调性进行学习的过程当中，要想更快的掌握住解题技巧和方法，需要不断研究函数学习方法。根据自己学到的知识对函数单调性进行归纳和总结，并且学会利用函数单调性的技巧求解不等式、数列、方程、求导数等方面的应用，以达到不断提高自己学习能力的目的。

参考文献：

[1]任建文.函数单调性的应用方法和解题技巧[J].数理化学习（高中版，2014，（9）：13-14.

[2]曹付生.函数单调性解决问题的策略[J].中学生数学：高中版，2015，（3）：17-18.