基于CI-TOPSIS的梯形直觉模糊多准则群决策分类方法

朱佳翔，蔡建飞，林徐勋

(常州大学商学院，江苏 常州 213164)

1 引言

决策领域中逼近理想点法(TOPSIS)是一种逼近于理想解的排序法，目前文献中出现的TOPSIS方法常用于解决脆值理论中质量、性能及效益的评价决策问题，在现实环境下多准则分类决策(MCS)方面的研究较少。Hwang等[1]结合TOPSIS法，提出了一种理想环境下经典的多准则决策方法。然而，在现实环境下决策者的判断与偏好往往不能用具体的数值来估计，因此，理想环境下的许多决策在现实环境下是不可行的。基于此，许多学者考虑在不确定现实环境中运用经典模糊集理论[2]进行决策，如方树平和董九英[3]、赵树平等[4]、裴植等[5]和汪新凡[6]应用经典模糊集与TOPSIS法去解决现实环境下不确定多准则决策问题，但对现实决策环境中不确定因素的复杂性，以及决策者的主观性等因素考虑不足。与经典模糊集相比，直觉模糊集具有更强的表达能力和灵活性。自Atanassov[7]提出直觉模糊集(IFS)以及区间直觉模糊集概念以来，许多学者将直觉模糊集扩展应用到模糊TOPSIS领域，提出IFS TOPSIS等创新方法[8]。Atanassou[9]定义了区间直觉模糊集(IVIFS)的运算律。Tan Chunqiao等[10-11]给出了不确定环境下一种新的基于IVIFS及TOPSIS的多准则决策方法。Xu Zeshui[12]界定了区间直觉模糊权重几何均值算子(IIFWGA)及区间直觉模糊权重排序几何均值算子(IIFOWGA)等。Wei Guiwu等[13]应用IIFWGA几何聚类函数处理动态多属性决策问题。但上述方法主要用于解决一般群决策问题，对决策分类问题研究较少，对多准则分类决策(MCS)方面的研究更少。

目前多准则分类决策(MCS)方面的研究主要集中在单个决策者的MCS问题研究，关于多决策者的多准则群决策分类(MCGS)问题的研究较少。Greco等[14]研究利用级别高于关系的MCS方法对方案进行分类。Almeida-Dias等[15]研究利用基于距离的MCS方法对决策方案进行分类。上述单个决策者的决策分类方法，在实际决策中往往因个人知识经验不足而导致决策失误。因此，许多学者展开了对多决策者的群决策MCS问题研究，如Greco等[16]研究利用集合运算方法获得决策分类区间。Kadzinski等[17]研究利用代表函数对决策方案进行精确分类。Cai Fuling等[18]给出一种交互式案例分类信息的群决策分类方法。上述方法大多基于单类型偏好信息的MCS问题展开，信息遗漏现象严重，忽略准则之间的依赖属性，缺少对多类型偏好信息的研究，而且在研究中未兼顾决策者的偏好，因此难以解决实际决策方案中的分类难题。基于此，本文提出基于CI-TOPSIS的梯形直觉模糊多准则群决策分类方法，是一种融合Choquet积分与TOPSIS的决策方法创新，克服决策过程中信息的遗漏，充分保留决策过程中信息的完备性，以及充分考虑群决策分类准则之间相应依赖属性与决策者的决策偏好。依据决策者偏好的级别和比较信息，用以确定具有最大可信度群体一致案例比较信息集，并逐步引导决策者给出部分及全部方案的精确分类，有效避免群决策分类准则评价值过低时方案被分配到较好类别，以及有效避免因个人知识、经验局限性所导致的决策失误。

2 问题描述

在模糊不确定环境下为兼顾决策者偏好与其他主观因素，假设多个决策者拥有相同方案集、准则集以及方案的准则评价值。决策者事先将现有方案分配至给定的类别、准则评价值以及类边界，并通过决策者自身所掌握知识及经验确定方案的分类结果，以致分类结果中包含各个决策者的偏好及地位。基于离散Choquet积分TOPSIS(CI-TOPSIS)的模糊多准则群决策的分类流程如图1所示。

图1 基于CI-TOPSIS的模糊多准则分类流程图

假设模糊不确定决策环境下决策者提供的案例比较信息具有不同的模糊可信度[20]。给定A={a1,a2,…,am}为待分类方案集，ai是第i个待分类方案，分类准则集为G={g1,g2,…,gn}，其中，gj(ai)是方案ai在准则gj下的评价值，wj是第j个准则的权重，αj=min{gj(ai)}，βj=max{gj(ai)}，i=1,2,…,m。假设决策偏好随着gj(ai)的增大而增大，对于准则gj，假设决策者具有相同的偏好阈值pj、无差异阈值qj以及否决阈值vj，j=1,2,…,n。若Ck与Ck+1类别之间通过边界bk=(g1(bk),g2(bk),…,gn(bk))加以区分，参阅文献[22]可设定分类集合为：C={C1,C2,…,Ch}。设定T={e1,e2,…,eL}为L个决策者的集合，设定η={η1,η2,…,ηL}为归一化处理后的决策权重。由于要考虑决策者偏好，可将决策者es认为方案ai1优于方案ai2，设定为ai1pesai2；决策者es认为方案ai1与方案ai2无差异，设定为ai1Iesai2，最终将决策者提供的所有案例比较信息Infr归结到集合InfSet。基于离散Choquet积分的TOPSIS(CI-TOPSIS)算子相关知识准备，在第3章有详尽描述与论证。

3 知识准备

3.1 梯形直觉模糊集

令模糊集A是论域X上映射，X∈[0,1]。对于任何x∈X，A(x)为模糊集A上的隶属度函数。令X={x1,x2,…,xn}是准则集，P(x)是X上的权重集。

定义1 对于论域X上ρ的模糊隶属度μ，μ:P(x)→[0,1]。必须满足下列条件。

(1)

其中，μ(xi)是xi一个子集的模糊隶属度，对于每个子集A⊂X，可得到式(2)。

μ(A)=

(2)

根据式(1)由μ(x)=1单独确定ρ的值，等价于求解式(3)。

(3)

如果论域X上的集合B是独立的，对于任意B⊆X则有：

(4)

Zimmermann运用梯形模糊数来定义LR型模糊隶属度函数如定义2。

定义2 令L、R是递减函数，其区间值在[0,1]上。当x>0时，L(x)<1；当x=0及L(+∞)=0时，L(1)=0或L(x)>0。LR型梯形模糊数x的模糊隶属度函数表达式如式(5)。

μX(x)=

(5)

其中，m10、β=m4-m3>0。LR型梯形模糊数x可表示为(m1,m2,m3,m4)LR。

定义3 对于一个LR型梯形模糊数x=(m1,m2,m3,m4)LR，假定L(x)=R(x)=1-x，可表示为

(6)

其中，m10、β=m4-m3>0分别为左扩展、右扩展。

3.2 相关算子

在上述梯形直觉模糊集相关理论基础上，给出广义梯形直觉模糊几何聚类算子与CI-TOPSIS算子。

同上，鉴于论文篇幅所限，此处证明省略。

(7)

(1)若Infr=asapasb，则实现方案asa与方案asb之间差异最大化，则需通过如下约束实现。

(2)若Infr=asaIasb，则削弱方案asa与方案asb之间差异，则需通过如下约束实现。

其中，mindr可使得方案asa，asb之间差异最小化。

(8)

(9)

i=1,2,…,m

(10)

3.3 基于CI-TOPSIS算子的梯形直觉模糊群决策分类步骤

进一步给出基于CI-TOPSIS算子的梯形直觉模糊群决策分类步骤如下：

步骤1分析问题，给出分类方案集A={a1,a2,…,am}、评价准则集G={g1,g2,…,gn}、决策的权重η={η1,η2,…,ηL}，方案的评价值gj(ai)，偏好阈值pj、否决阈值vj、无差异阈值qj，并对各分类集合C={C1,C2,…,Ch}和边界bk(k=0,1,…,h)进行定义。

步骤2 决策者根据知识与经验，给出部分方案的案例比较信息，再确定各个决策者的偏好的模糊隶属度及其参数ρ，通过参数大小的比较，确定具有最大可信度的群体一致案例比较信息集(ConInfSet)。

步骤4 将方案的分类区间及备选方案μ(c1)=0.45提供给决策者。

步骤6 通过如式(10)所示接近度系数，可获得剩余方案的精确分类。

步骤7 如果决策者对群决策方案的分类结果存在疑虑，或对结果不满意则算法终止，重新回到步骤1进行新一轮决策。

4 实例分析

某投资公司对20个风险投资项目:A={a1,a2,…,a20}进行评价，由于资源的有限性不能同时支持所有项目，因此必需这20个项目进行投资风险评估，经市场调研投资公司已经给出每个项目的未来预期收益、投资成本、成功概率以及期望收益率等数据。给定5个模糊评价词语为：C1=“差”，C2=“一般”，C3=“较好”，C4=“好”，C5=“很好”。给定的3个评价准则分别为：g1=“风险分析”，g2=“成长分析”，g3=“社会影响分析”，g4=“环境影响分析”。其中，每个准则又由其他准则组成，投资公司赋予子准则以不同的权重，并制定了各个准则的评价标准，综合问卷调查与专家咨询给出模糊决策矩阵如表1所示。

表1 风险投资项目模糊评价矩阵

给定三个决策者T={e1,e2,e3}参与决策，决策权重设定是根据决策者在该领域知识、经验及贡献的综合评分，可预先运用AHP法进行权重的测度。如果参照刘佳鹏等[19]，统一将三个决策者T={e1,e2,e3}权重设定为(1/3, 1/3, 1/3)，则会产生分类结果的偏差。论文篇幅所限，运用AHP法以及对决策者权重测度的探讨，此处省略。假设已经根据AHP 法测度出三个决策者T={e1,e2,e3}权重集为(0.48,0.24,0.28)；同时设定无差异阈值qj=2.8，偏好阈值pj=5.4及否决阈值vj=10.0，j=1,2,3，分类边界见表2。根据梯形直觉模糊信息对这20个备选投资项目方案进行评价。

利用上述分类方法，该风险投资项目的计算结果如下：

表2 案例分类边界

表3 方案的分类区间

表4 剩余方案的分类区间

(4)表3与表4比较发现：a3的分类区间缩小到C3，a6的分类区间缩小到C4，a19的分类区间缩小到C2，其他方案保持不变，此时，决策者无法再次确定剩余方案的精确分类。通过接近度系数获得剩余方案的精确分类如表5所示，评价为“好”的投资项目C4组合为：a3、a6，a9、a16、a20。若决策者对群决策方案的分类结果存在疑虑，或者对结果不满意，则算法终止，重新回到步骤1进行新一轮决策。

根据已给定的未来预期收益、投资成本、成功概率以及期望收益率等指标，不同决策方法下C4(好)项目组合投资期望效益比较如表6所示。

表5 方案的精确分类

表6 不同决策方法下C4(好)类投资的期望效益比较

从表5可见，ConInfSet={Inf1,Inf2,Inf3,Inf4,Inf5}，方案a6，a9，a17，a20的分类情况发生了变化。其中方案a6被分配到C4类，方案a9被分配到C4类，方案a17被分配到C3类，方案a20被分配到C4类，其他方案的分类结果未变。由表6可知，本文提出的方法与传统权重确定的方法相比，以C4(好)分类组合投资方案为例，给定的预算投入在50%、60%、70%三种情景下，其组合投资期望回收期皆缩短了2年，投资期望成本分别降了113.8百万元、185.73百万元、337.8百万元，投资期望收益分别提升704.46百万元、749.52百万元、534.18百万元，说明本文提出的决策分类方法避免了将好的方案分配到较差类别，或评价值过低时的方案被分配到较好的类别，避免因个人知识、经验局限性所导致的决策失误。

为了验证该本文方法的有效性，与赵树平等[4]方法进行对比分析，发现赵树平等[4]仅能根据评价准则进行总排序，排序结果为：a9≻a3≻a6≻a14≻a20≻a17≻a16≻a10≻a2≻a4≻a8≻a11≻a13≻a15≻a12≻a19≻a7≻a5≻a1≻a18，显然，赵树平等[4]方法并不能将上述20个项目按照模糊词语“好”、“较好”、 “很好”、“一般”、“差”进行精确分类。再次将本文方法与刘佳鹏等[19]进行比较，发现刘佳鹏等[19]的方法虽能对各个方案精确分类，但没有考虑决策者权重差异性对分类结果的影响，如仅给定三名决策者的权重是相等的，同为(1/3, 1/3, 1/3), 一旦决策者之间提供的信息产生误差，分类结果也将产生冲突，无法将分类信息纳入到群体一致案例比较信息集。

通过实例与上述不同方法比较，验证了提出方法的科学性，充分考虑了决策者的偏好以及准则间的相互依存、相互作用，最终寻找出最理想的分类结果。此外，一旦决策者e1提供的信息Inf1和决策者e2，e3提供的信息Inf2，Inf3之间存在冲突时，若决策者e1具有较大的权重，则被纳入群体一致案例比较信息集；若决策者e1与其他决策者拥有同等权重，则Inf2，Inf3也被选入群体一致案例比较信息集，这就导致上述两种分类结果的差异。因此，本文采用的基于CI-TOPSIS的梯形直觉模糊多准则群决策分类方法充分考虑决策者的主观偏好与信息比较之间的级别关系，克服了决策过程中信息的遗漏，充分保留了决策过程中信息的完备性，更适用于直觉模糊群决策环境下的决策实践，可应用推广到更多决策领域。

5 结语

模糊群决策分类方法广泛应用于政治、经济与社会生活各个领域，可有效避免个人知识与经验局限性所导致的决策失误。本文给出的基于CI-TOPSIS的梯形直觉模糊多准则群决策分类方法创新在于：(1)该方法是基于梯形直觉模糊集理论而非直觉模糊集或模糊集理论，充分保留了决策过程中信息的完备性，不会导致信息的遗漏与遗失；(2)在模糊决策环境下，可根据梯形直觉模糊聚类算子定义案例比较信息的可信度，确定具有最大可信度的群体一致性案例比较信息集；(3)考虑决策者提供信息的可信度，通过接近度系数获得方案的精确分类。因此，该模糊群决策分类方法在决策实践中是非常有效和科学的，可应用推广到更多决策领域。本文因篇幅所限未讨论模糊决策环境下的信息冗余问题，当信息的冗余程度达到一定的程度，很可能对群决策产生一定的影响，使得决策方案的分类区间不够精确，这将是进一步研究所要讨论的问题之一。