无穷小阶的比较的讲授方法

摘 要：对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小，抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比，力图将无穷小阶的比较过程形象地呈现出来。这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。

关键词：无穷小阶的比较；类比

一、无穷小及其阶的比较

无穷小量，即无穷小，指在自变量的某一变化过程下趋于零的函数。在微积分的发展过程中，人们对无穷小量的认识经历了一个漫长的过程，这与极限理论的遭遇密切相关：无穷小是极限理论中最使人难以接受的部分，对当时的人们来说，它似乎带有某种“神秘气氛”，见[1]。无穷小的定义是“如果一个量的绝对值能变得小于任意选定的无论怎样小的量，则说它能变为无穷小”，正是这个说法，引出了一般极限定义的ε.δ语言，毋庸讳言，”某量的绝对值小于任意选定的无论怎样小的量”表达成的数学语言（即无穷小的ε.δ定义）仍困扰着今天的初学者，而无穷小阶的比较，则是在自变量的某变化过程下，比较出不同无穷小趋于零的相对快慢。这个比较过程，在教科书中是考虑这些无穷小量的比值在自变量的该变化过程下的极限（可参见任一本微积分教材，如文献[2]）：

二、用类比法讲授“无穷小量阶的比较”过程

极限理论对初学者往往较难理解，这源于极限概念（ε.δ语言）的抽象性和高度的动态性：据说……