依托多维素材刻画概念本质

王宇

【摘要】笔者通过研究“平行”概念的有关上位知识，分析整理教学过程中的两大难点问题，在教学实践中依托多维素材，让学生经历验证平行的过程，并把概念的概括與应用有机融合，多方位刻画概念本质，形成既符合学生的认知规律，又具有自己特色的教学实践成果。

【关键词】上位知识 概念本质 多维素材

一、“平行”概念本质的认识

大多数版本的小学数学教材中将平行线定义为“在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，其中一条是另一条的平行线”。其中“在同一平面内”是概念的前提条件，“永不相交的两条直线”是概念的关键要素。为了更好地把握概念的本质，笔者收集了有关平行的上位数学知识，与平行概念相关的知识中涉及“平面”、平行线的定义，平行的性质，等等。

在解读这些上位数学知识后，笔者对于平行概念的本质有几点新的认识：

（1）“平面”是个高度抽象的数学概念，它来自于生活又高于生活，数学上的“平面”是没有大小、厚薄、宽窄之分，且可以无限延展的，而学生日常接触的“平面”是有限大的，在本课学习中如果学生没有体会过平面的无限延展性，局部大的平面与无限长的直线必然产生冲突，从而影响运用延长直线辨别是否相交活动的展开。

（2）从平行线的定义中，我们发现同一平面内两条直线的位置关系其实包含三种：相交、平行、重合。三种关系是互相并列的，外延完全对立，理解了其中一种关系，必然对其他关系的感悟有很大益处。

（3）过直线外一点画平行线的唯一性与平行线间的传递性，蕴含的是平行线“两条直线间的距离处处相等”特性，但学生日常判断平行与画平行线时往往根据肉眼直观的感觉，不会主动运用工具验证与做图。

二、“平行”概念教学的问题聚焦

鉴于上述对于平行概念的认识，笔者收集了大量关于平行概念教学片段，整理发现教学过程中的两大难题：

焦点一：如何处理“同一平面”概念前提条件的严密性与学生可接受性之间的矛盾？

学生在学习平行与相交时原本不可能想到“同一平面”，教师有目的地创设障碍，试图通过比较差异引发学生对同一平面的关注。但是教室中的异面素材比学生生活中的异面经验抽象度高，因此容易造成部分学生无所适从。同时，学生原本对位置关系的分类已经形成了比较清晰的表象，现在又出现了一种既不相交又不平行的位置关系，造成了强烈的干扰，实在是得不偿失。

焦点二：如何化解概念关键要素“永不相交”的无限性与延长操作局限性之间的矛盾？

我们教师往往对两条直线“永不相交”的验证感到无奈，因为无限延长直线本身就无法操作完成，而且学生也无法每次都准确地延长一条直线至较长长度，延长活动还容易出现越延长误差越大，甚至把平行变成了相交。

纵观上述两个焦点，实际上都是由数学知识的抽象性与学生现有的认知水平不一致造成的，矛盾的化解都指向了教与学的信息载体——学习素材，教师选取怎样的素材能有效调动学生关于“平面”的生活经验，体验平面的无限延展性：运用怎样的素材能够直观量化直线间的距离，并能让学生动手验证平行成为关键所在。

三、“平行”概念教学的选材策略

素材是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的载体。笔者通过对素材的合理选取，优化材料呈现的时间与逻辑顺序，动态使用等策略激发学生主动参与学习过程，实现概念的有效建构。

（一）选用“生活”素材，激活经验体验“无限”与“部分”

笔者在选择学习材料时充分考虑学生的生活实际，以直观的形象事物为载体，结合有趣的谈话与生动的操作，力求达到“润物细无声”的效果。

1，课前谈话，了解平面

师：看到“面”想到了什么？

生1：面条，牛肉干面。

师：除了吃的面，生活中还有其他的吗？

生2：桌面、脸面。

师：你们摸一摸脸面，再摸一摸桌面，感觉一下。有区别吗？

生3：不一样，脸面凹进凹出，桌面平平的。

师：哪里还有平平的面呢？

生4：黑板。

生5：教室地面。

生6：操场地面。

师：像这些平平的面都可以叫做平面（板书平面）。

2，动作演示，感知同一平面

（教师演示：2只米老鼠先后出现在大屏幕上）

师：一个平面内出现了什么？

生7：2只米老鼠都在一个平面内。

（教师演示：1只米老鼠消失来到桌面上）

师：现在呢？

生8：1只米老鼠在这个平面，1只米老鼠在那个平面，它们在不同的平面上。

师：它们想在同一个平面内，怎么办？

生：可以把这只米老鼠请到桌面上来。

平面与同一个平面的感知都是让学生通过操作观察，调动生活中的经验两个环节来展开的，贴近生活的素材能够让学生不知不觉中建立“同一平面”概念的表象，而整节课就围绕这一默认的前提开展研究。

3，拓展平面，体验“无限”

f呈现折叠的四分之一张白纸贴在黑板上）

师：这也是一个（平面），现在这个平面内出现了一条直线，谁能来画？

（一生上台画）

师：还能再画吗？

生：能（向左边延长画到底）。

师：还能再画吗？

生：能（向右边延长画到底）。

师：还能再画吗？

生1：不能，已经到底了。

生2：能，因为直线是无限长的，只要平面再大一些就可以了，

（师逐步展开白纸）

师：还能再画吗？

生：能。

师：想象一下，平面一直变大，直线能画得完吗？

生：不能，只要平面无限大，就可以一直画。

师：是的，不管怎么画，我们只能画出直线的（一部分）。

“还能再畫吗？”这一问题激活了直线无限长特性的知识储备，通过创设直线无限长与平面有限大的矛盾，引发学生思辨，再适时地变大平面给学生一个想象的支撑，学生真切地感受到平面的“无限”与“部分”，从而进一步理解直线的“无限”与“部分”，水到渠成地会用延长直线来进行验证相交。

（二）妙用“方格”素材，击破难点经历“验证”与“推理”

如何让学生能主动地聚焦距离，并运用距离是否相等来判定平行是本节课的难点，因此有效素材的发掘与使用成为本课成功与否的关键。

1，制造冲突、关注距离

黑板上展示6组图形（见上图），学生分类后汇报：

生：我们分成两类，②④一类是交叉的，其余的是不交叉。

师：你说的交叉指的是什么意思？

生：两条直线碰到一起，中间有一个点。

师：哦！你说的交叉在数学中我们称为相交，这个点称为交点（板书相交）。

师：你们对他们组的分法有意见吗？

生：我觉得③也是相交的，因为这两条是直线，画长一点后会碰到一起，也有交点。（请生上台演示验证）

师：现在你们觉得③是——

生：相交，它没有把相交的部分画出来。我觉得⑤也是相交的。

师：哦，我们一起看看（媒体呈现），请你们验证一下有什么发现？

（学生同桌合作延长）

生：⑤也是相交的，如果纸再大一点就可以把相交的部分画出来了。

（大多数学生点头赞同）

师：如果我们不延长直线，你们有什么巧妙的办法看出它们相交？

（学生沉默）

（媒体呈现方格图）

师：借助方格图你有什么发现？

生1：这里开口大，到这里越来越小了，这样下去肯定会相交。

生2：刚开始宽度有9格，到这里只有5格，如果再延长（媒体及时演示延长）宽度越变越小，到0格的时候就会有交点，所以这两条直线相交。（生鼓掌）

（隐去方格图）师：现在能看出这两条直线相交吗？

生：能，这两条直线间隔越来越小，他们肯定会有交点，只不过还没把交点画出来。

在三个环节的活动中，在学生迷茫时适时呈现方格素材，帮助其聚焦思考的角度，在学生释疑后隐去方格素材，促使其运用理性的思维去判断。

2，量化距离，验证平行

师：那①与⑥是相交的吗（先不呈现方格图）？

生：不相交，因为它们的距离一样。

师：你怎么知道距离一样，能证明你的观点吗？（学生人手一份透明的方格图）

生：①我先用方格纸对齐，数一数后发现距离都是4格，它们不会相交。

师：真的吗？我们延长看看。（媒体演示）

生1：延长后距离还是4格，不管怎么延长距离都是4格，所以肯定不会相交。

生2：⑥也不相交，因为它的距离都是3格。（展台演示旋转方格纸与线对齐）

师：真厉害，用工具验证并能说明理由，这是数学学习的好方法，谢谢你！那现在你们对相交有什么看法？

生1：相交会有交点。

生2：没有交点也是相交，只要两条直线间的距离有大有小。

（指着⑤）师：真的没有交点吗？

生1：我的意思是指图上没画出来。

生2：当两条直线距离不变时，再怎么延长也不会相交。

师：是的，像①与⑥这样的两条直线距离处处相等，永不相交的两条直线我们还可以说它们互相平行。

“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，为什么不能验证距离相等呢？最根本的原因在于我们数学老师受困于自己的数学知识，认为距离一定要借助于垂线，否则无法验证。其实二年级时我们就利用方格图让学生画平移后的图形，应用的正是方格图能量化距离的功能，因此笔者提供入手一份透明方格纸，让学生通过自己动手验证发现距离不变，再结合媒体动态地演示延长过程，推导出肯定没有交点这一结论。这样的过程既让学生深刻理解了概念的本质，又发展了学生的逻辑推理能力。

（三）活用“动态”素材，巩固知识训练“想象”与“整理”

对于静止的学习材料通过改造，运用动态的方式呈现，并赋予学生探索、交流、思辨的空间，能够拓宽学生认知的广度，丰富想象能力，使其思维得到不同的发展，并在解决问题的过程中发现新问题，产生进一步学习的动力，真正成为学习的主体。在平行概念的巩固应用环节，笔者选用了以下几组素材。

1.判断下面各组直线是平行线吗？（媒体依次呈现）

（第一条直线呈现）生：不是，2条直线才能说平行线，这是一条直线。

（媒体呈现第二条直线）生：不是，这两条直线间的距离越来越小，肯定会有交点，它们是相交的。

师：如果直线。不动，直线6怎样运动才能平行呢？

生1：（手比画）这样旋转。（媒体运动成图3）

生2：不对，还得转。（媒体继续运动成图4）

生3：好了。

生4：过了（学生意见分散）。

生5：用方格图验证一下。

（媒体提供方格图）

生：刚好平行，距离都是一样的。

师：如果再旋转呢？

生：不平行，距离变了，只有这里才是平行。

动态旋转直线过程中，两直线间的距离发生着变化导致位置关系发生变化，学生通过观察由确定到迷惑，再借助直观的方格图验证，能够体会到过直线外一点只能有一条平行线，进一步强化了平行线间距离相等的本质特征，感受到数学的严谨性与运用工具检验平行的必要性。

2，动态平移小鱼图，描一描平行线

师：其实我们很早就接触过平行线，请看小鱼动起来了，你能找到原来图形与现在图形里面的平行线吗？（媒体动态演示小鱼平移过程，留下两幅图形）

生：有，我发现这一条直的和这里一条直的是平行线。

师：眼力真尖，这里还藏着许多平行线，请同学们找一找，并用不同颜色的笔描一描，开始。（生描、汇报展示）

师：你们发现了什么？

生：图形平移以后两条线都是平行线。（师补充：对应的线）

师：真的？小鱼向上平移呢？向右上方平移呢？（媒体演示）

生：也是。

师：看来平移可以得到平行线。

3，画直线。的平行线，想想可以画出几条平行线

师：你是怎么画的？

生：把直线a平移过去，只要在竖的线上都可以，可以画很多条。（媒体画直线6）

师：直线6动起来了（媒体演示直线b向a平移靠拢），还是平行吗？

生：是的，虽然不到一格，但距离都一样。

师：（继续靠拢，直到重合）现在呢？

生1：看不见了，重叠了。

生2：现在有很多个交点，应该是无数个交点了。

师：这种情况是相交吗？是平行吗？

生：都不是，相交只有1个交点，平行没有交点，这里有无数的交点。

师：是的，像这样的两条直线有无数的交点，我们可以说他们重合。

师：现在我们一起来整理一下，同一平面内两条直线的位置关系有哪些情况？

动态的平移激活了学生原有的经验，学生发现平移能得到平行线，为下一步习得画平行线技能做好铺垫。之后在动态移动直线的运动中，学生能清晰地发现重合这一种特殊的位置关系，再创设活动让学生按照交点的个数对位置关系进行梳理，在交流中进一步清晰各种概念，把直线的运动方式与位置关系有机结合，有助于形成整体而清晰的知识体系。

概念教学的价值就是让学生经历丰富的数学活动，通过不斷地质疑辨析，不但把握概念显性的表象，还能透过现象抓住概念的内在特性，从而发展数学思维，提升各种能力。在这个过程中，需要教师研究上位的数学知识，关注师生之间的教学困惑，并积极发挥教师的能动性与创造性，发掘合适和高效使用两者之间耦合的信息载体（学习材料），提升数学学习的价值。