“数”跃然眼前 “意”灵动于心
——多元表征在“数”概念教学中的运用思考

□ 郑小琳

数学是研究数量关系和空间形式的科学。“数”是描述数量关系的基础，其地位不言而喻。数、数量不仅是孩子认识世界的基本元素，也是认识和理解数学的开始。数的概念、数的意义伴随着孩子数学学习的终身，小学阶段学生学习数的整个过程是从自然数开始逐步扩充到分数、小数、负数的，在内化或顺应“数”的概念过程中不断深化“数”的意义的理解和运用。学生在认识和构建“数”的概念的过程中应重点关注数的意义、数的表示、数与数之间的关系、数的应用等，其中数的意义更是重中之重。“数”的概念的建立对于学生进一步学习数学知识有着莫大的帮助。

对数量的表征是学生获得“数”的概念并向更高级的数学能力发展的基础。所谓表征是用某一种形式，将事物或想法重新表现出来，以达到交流的目的。当表征所表现的意义切实掌握后，可进一步成为思维的材料，从而简化解题过程。理解概念涉及:概念的丰富表达形式——外在表征，概念的心理表达(表象)形式——内在表征，以及内外表征之间的转换。在小学阶段，尊重学生的已有经验，尊重学生对知识的主观认识，运用多元表征，对于学生理解数的意义、建立数的概念有重要的作用。

一、借助多元表征，感悟“数”的意义

对于未知世界的认识，我们总是借助于熟悉的事物来刻画，在对比、分析的过程中挖掘其共性，抽离出本质。维果茨基曾提出“了解概念形成的过程，即可把握住儿童认知与思维的过程”。概念形成的核心是理解，理解是一种心理结构的构造过程，可以说概念其实就是理解状态下的某种心理表征。因此，在小学阶段，学生数的概念的建立可借助已有经验，运用实物图像、模型、言语、动作等多种手段进行直观可视的外在表征，从而理解数的意义。

图1

（一）图形表征——以图形语言话本质

布鲁纳认为，儿童的思维活动依赖外在刺激的程度来决定儿童心智的成长。认识数时,引导学生尽可能通过实物、图形等直观可视的方式来表征抽象的数，为他们认识、理解数提供“拐杖”。当具体物体消失时，学生能在心中以原物的形象作为思考的材料并以画图的形式进行展现，这种视觉化的阐述拉近抽象的数与学生个体心理的距离，从而易于学生理解和接受。在小学阶段数的认识中，起始课一般都借助于直观的物或形，根据物与数的等价联系及对应关系，以具象的方式抽离出共同特征从而概括出数，建立数的概念。

如教学一年级上册第15页“1～5的数的认识”时（见图2a），通过小狗、鸭子、小鸟的个数来抽象概括出数1、2、3，并通过摆小棒将数进一步简约化表达，使学生体会到一只小狗记作“1”，1也可以用一根小棒来表示。通过表征，数字1变得直观、可视，这样的方式使学生很自然地理解自然数的内涵。在低年级教学中，学生可以用画图等方式表示数，进行组成、顺序、大小比较等研究（见图2b）。在研究6的组成时及时抛出问题“6可以分成几和几呢？请你想一想、画一画、摆一摆，让人一看就明白”。学生通过摆小棒、画圆形等方式思考6的分与合。从作品中可以看出，有的学生是无序的，有的则是按一定的规则在分、合。通过表征，不仅使分的结果变得可视，学生的思维过程也变得直观。经过多次的表征发现该阶段的孩子，对数的表征慢慢地开始脱离实物，而用相对抽象的几何图形如三角形、圆等来替代。

图2

学生认数的过程中离不开直观，以“形”译数，化抽象为具体，在丰富的素材中学生感悟数的内涵，建立表象，从而更好地沟通数的意义、数的读写、数感的培养。特别是那些相对较难理解且课本中抽象化水平较高的数，如分数、小数、百分数、负数等，课堂上借助画一画，找一找身边事物等多种表征可以很好地化解数抽象的特点。这种可视的表征方式唤起了学生的生活经验，从而使学生触摸数的本质。

（二）模型表征——借模型刻画明关系

模型表征是以具体可触摸的模型取代实物，并保留原物的可操作性。以模型表征数，使抽象的数和现实之间的数量建立联系，这里的模型可以是几何模型、计数器、直尺、数轴、方格图等。在这种形式化的表征中，学生可观察、操作，并从中掌握数的概念中很多重要但很抽象的内容，比如计数单位、读写法等，模型与计数单位建立起一一对应的关系，这对学生数感的培养很有帮助。

如在“11～20的数的认识”的教学中，可以设计多次圈、捆、画等操作活动，以模型的形式为计数单位“十”的建立提供直观支持。

师：你能想办法让人一看就知道有几个草莓吗？

生：可以5个5个地圈起来。

生：还可以10个圈起来,余下几个就是十几。

师：一个圈表示10个，这种方法真好。如果用小棒代替草莓，现在怎样让人一看就明白是几根呢？

生：可以把10根小棒捆成一捆，一捆就是10根，和余下的3根合起来就是13根。

师：这里有两个盒子，请你将小棒放好，并做好记录。

生：左边的盒子里放1捆，就画1颗珠子，右边的盒子里放3根，画3颗珠子。

生：我左边也放了1捆，但是我画了10颗，右边也是放了3根，画3颗珠子。

生：左边不能画10颗，放1捆画1颗，画10颗就要放10捆了。

师：是啊，1颗珠子表示1捆，这一捆捆放的盒子我们把它叫作十位盒子，放1捆就记作1，一根根放的叫作个位盒子，放1根就记作1，放3根就记作3，合起来就是……

图3

计数单位“十”及数位概念是11～20各数的认识时的要点。通过活动使学生对数的认识从单个的一个个数扩展到十个为一群数，这是让学生建立十进制数位概念的重要阶段。课堂上引导学生通过“怎样让人一看就明白有几根”的活动引导学生建立10个一堆、10个一捆的观念；再通过捆一捆、画一画、填一填等活动，把图与数结合，将抽象的数位与具体形象的小棒图结合，通过直观表征（圈10个草莓）到半直观模型（一捆小棒）最后抽象出十位上的一颗珠子，以可视的方式将一捆小棒（计数单位十的模型）过渡到计数器十位上一颗珠子的模型。在操作中学生体会一个算珠在不同位置上的意义，以实现“以一当一”到“以一当十”的飞跃。

小学阶段常用的计数器、小棒、方格纸、立方体等，都是一种“齐性”的“结构化”特征的直观可视的学具，用这些材料进行表征可帮学生建立“单位”“位值”等概念，为他们以后读写、理解更大的数，进行有意义的运算打下基础。

此外，数轴也是一种较为抽象的模型，在小学阶段中经常用到。在小学阶段，很多内容都可以借助数轴这一模型来表征，如“公约数和最大公约数”“近似数”“数的大小比较”等，利用数在数轴上的位置，使数与数之间的大小关系、重叠关系直观呈现。学生通过在数轴上找—圈—观察—对比等活动感受直观背景和概念间的关系，内化知识结构并及时整合，形成对应的程序模型。

（三）言语表征——用朴素文字刻形象

言语表征是语言材料所负载的信息在头脑中的存在方式，是一种相对图形表征来说较为高级的表征方式。言语表征是符号性表征中的一种，它是储存于头脑中的“概念意向”在特定的时候被激活，适时描摹对象并用口语加以描述，其他个体可结合语言来构画具象的过程。如比较小数0.2和0.5的大小时，有的学生借助多年的生活经验来描述：0.2就是2角，0.5就是5角，2角比5角小，所以0.2＜0.5；有的学生联系图来描述：把一条线段平均分成10份，0.2就是其中的2份，0.5是其中的5份。在研究负数（-2）所表示的意义时，有的学生认为-2是地下二层，有的则认为是欠了2元钱，还有的学生理解为零下2℃，等等。以言语符号进行表征的儿童，他们的思维活动不再依赖实物或图像的操作，仅以口语这一符号来反映个体的心智活动，故抽象思考性较高。

二、“转译”表征形式，理解“数”的概念

对于一个数学概念，往往可以借助多种形式来表征，不同的表征方式对概念或者问题进行不同的解释，也就是从不同的角度对知识的本质进行视觉化或者言语化的加工，因而使学生获得深刻的体验，感悟“数”的本质。课堂上，教师要引导学生进行多种表征之间的转换或转译，从而使学生对概念具有丰富的多元化的理解。

（一）适时转换，提升概念的意义理解

由于每一种表征都是个体经过加工后而生成的，不同的表征相互补充，相互完善，从而丰富概念的内涵和外延。表征方式的多样性有助于学生对数的概念的多重意义的认识，教师要注意引导学生在多种表征方式之间进行转换，在各种表征方式之间转换越顺畅，学生对概念的理解也就越深刻。

图4

在二下学习1000以内数的组成时（见图4），教师可先出示一袋小方块，提问：这里一共有多少呢？请你数一数，并用自己的方式记录下来，让人一看就明白。学生通过数数、用“百”去圈等方式来表征数，随后引导学生以具有直观结构化的小棒和语言进行表征，从中可以清楚地表示数的组成，最后借助计数器表示数并读写数。教师引导学生通过实践对多种表征方式一一对应进行沟通：一个圈—一大捆小棒—百位上的一颗珠子，一列头像—一捆小棒—十位上的一颗珠子，等等，在一对一的过程中向学生直观地展示数的内部结构，同时又理顺了知识间的关系。自然数概念是一个典型的过程性概念，这个过程就是“数数”，在不同形式的数数中“数”逐渐抽象，最后推理得到200可以用计数器百位上的2颗珠子代替等。

（二）转译语言，实现抽象与直观的对接

皮亚杰的数概念学习理论中指出，儿童学会的思考除了“同一性思考”以外，还有可逆性思考，即对数这一对象加以操作，同时可以用相反的操作予以还原。因此，在数概念教学中要充分借助分、摆、圈、画等活动，及时引导学生说一说，强化学生对数的语言表述；同时学生能通过语言表征而描画出具体的直观形象，实现语言与图形的对接，我们称之为转译。如用自己的方式表示出时，有的学生会在脑中描画出图5所示的形式，并用语言加以正确的描述：把一个圆平均分成3份，每份就是这个圆的又如在表达数的组成时，能在头脑中勾勒出具体的模型：2个头脑中出现的是2份涂色部分或图5中的白色部分。

图5

数学源自生活，百分数在学生生活中经常可以看到，如商店打折、程序卸载、手机的容量储存等。对于这些信息，学生或多或少已经有所了解，因此尊重学生的原有知识储备，通过画图、语言等方式进行数学表征，让抽象的百分数变得具体形象。在口语符号、图形图像及操作的互译中学生不断完善百分数的内涵，形成更为完善的结构系统，并在头脑中储存了百分数的模型（直观可视图）。当以后再次出现百分数时，学生的头脑中会结合具体情境直接闪现图，这种将概念意象化数的虚拟抽象转译为直观可视的图形表征，对于解决更为复杂的有关百分数的实际问题有很大的好处。

三、“回旋”表征方式，内化“数”的运用

在小学阶段，学生对于数量的认知离不开对实物、图形的依赖，这对处于中低年级的学生而言更为明显，这阶段的学生更倾向于使用形象、具体的表征来理解数。但随着年龄的增大,他们所使用的表征形式也趋于丰富，且对于数量的表征能力从具象逐渐朝着抽象化发展，但是还需要具体的感性经验作支撑。

（一）直观向抽象，深化理解

小学阶段的学生对每一类数的研究从实物、图像等具体外在表征开始，慢慢地引入模型、符号来开展进一步的研究，并将数纳入一个体系之中。以自然数为例（图6），从图6中可以看出，学生认识自然数先从常见实物表征开始，逐渐过渡到算盘、尺子、小棒等半直观半抽象的模型，最后借助点子图将数抽象成在数轴上的一个点表示。利用数轴可以将数有序地表示在一条有方向的线上，这对于整个数体系的建立具有重要的作用。

图6

（二）回旋加停顿，走向运用

学生认识数从直观入手，并逐渐概括向抽象化发展，即具体研究数时我们常借助形象来感受并适时、适当地进行抽象，抽象化后有时根据需要又会回旋、停顿，通过外在表征来解释数的概念，如性质等，同时通过直观理解数的运算、实际运用等。

在三年级学习《除数是一位数除法》的口算和笔算时，通过实物、图形表征和模型表征的方式让学生在操作过程中理解12个十平均分成3份，每份就是4个十，也就是40。借助操作或具体的图像对于学生理解除数是一位数的口算与笔算是十分有帮助的，因为视觉和操作的表征对于中低年级的学生来说是比较容易接受的。因此在教学时，可以安排练习：“120÷3怎么算呢？你可以用画画图、分分小棒、写写话等方式，让人一看就明白你是怎么想的。”多种形式的表征丰富学生的认识，并沟通直观图、小棒与语言描述的联系。以小棒联结学生的具体活动经验和抽象化语言，使学生对算理的理解更为顺畅，丰富数感，指向运用。

有效的教学是建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的，教师引导学生运用多元表征，是引领学生经历自我建构、自我生成的过程。多元表征帮助学生在对外部信息进行主动选择、加工和处理过程中领悟数的意义，建立数的概念，丰富学生的数感，是学生探寻未知数学世界的一把智慧钥匙。