向思维更深处漫溯

杨绘

【摘要】在数学教学中，练习是不可或缺的部分。如果把数学学习看作整体“1”，那么练习无可非议应占其中的50%以上。练习可以达到消化、巩固数学知识，掌握数学技能和发展数学思维的作用，也是学生掌握知识的重要过程。

【关键词】思维 练习 举一反三

仔细审视数学教材中的练习题，不仅有及时巩固新知，帮助内化的部分，适时地还穿插了一部分有很大提升空间的练习题，让学有余力的学生思考。而作为数学教师的我们，不仅可以通过练习获得学生学习的信息，而且可以有效利用好练习题，帮助学生思维发展与深化，现结合教学实例具体加以阐述。

一、举一反三——给思维“增温”

数学教材中的练习题，很多时候只是给我们提供了一些范例，如何从这些范例中找到相应的思维点，给学生更广阔的思维空间，这需要教师对知识进行“举一反三”的重组，从而让学生在步步紧逼的思维进程中感悟和收获。

【案例：苏教版数学三年级下册《长方形和正方形》】

在学习长方形和正方形的知识后，一般会安排如下的练习题，让学生体悟面积和周长之间的“变”与“不变”。

1.体会“等”与“不等”，让思维“保温”

生：这两块地的面积不相等，但是周长相等。

追问：你是怎样知道的呢？

生1：从图上可以看出一块地大，一块地小，所以面积不相等。

生2：我也从图上看到，萝卜地的周长是长方形的一条长加一条宽，再加中间一条曲线，白菜地的周长也是一条长和一条宽再加中间一条曲线。所以它们的周长相等。

一些学生听后点头表示同意，还有一些学生则有些茫然。

于是，教师把菜地图案抽象成下面的图形：

师：你能分别指一指萝卜地和白菜地的周长吗？

这道练习题通过比较长方形土地中两块菜地的周长和面积，让学生进一步深化对周长、面积意义的理解。练习中，大部分学生都能从图上直观地看出萝卜地的面积大一些。但是，对于两块地的周长的比较存在一些困难。让学生在直观图上指一指两块地的周长后，学生很自然地明确了两块地的周长相等。

2.体会“变”与“不变”，给思维“加温”

如果教学只单纯停留于上一阶段的学习，那么所获得的知识以及学生思维水平只是浅显和低层次的。为了拓展对周长、面积的认识，可继续往下走：

师：这种情况下，两块地的周长和面积又有什么关系？

生：两块地的周长相等，面积也相等。

师：你是怎样想的？

生：这两块地的面积都是长方形面积的一半，所以相等。它们的周长都是一条长和一条宽还有一条直线。

师：这两幅图有什么不同？

生：只是中间的那条线变了，其他都没发生改变。

师：是的，这条线起到了重要的作用，因为它的位置不同，引起了两块地面积的变化。但是两块地的周长都是长方形的一条长、一条宽和这条线，所以周长相等。

师：请你想一想，怎样画中间这条线段，就能让两块地的面积不相等，周长也不相等？

學生看着黑板上已有的两幅图陷入了思考……渐渐地有人举起了手。

师：大家可以在本子上试着画一画。

师：请你来向大家介绍一下。

生：在这张图中，萝卜地的周长大。因为萝卜地从白菜地那里霸占了一小段过去。

大家都会意地笑了，“霸占”用得真好。

我继续追问：萝卜地霸占了哪一段呢？你能在图上指一指吗？

学生轻而易举地找出了被霸占的那一段，也就理解了为什么萝卜地的周长更长了。

对于一题多变的拓展练习，学生运用画图的策略展开了生动而深刻的数学思考，教师引导学生进行对比，分析习题中知识和方法中存在的内在联系，有效地提升学生的数学思考力。

充分利用教材中的练习题进行“举一反三”，让学生的思维不仅仅局限于基本习题，而且能从一题延伸到相关类型题目的解答方法，促使学生的思维不断深入，加深对所学知识的理解，培养良好的思维品质。

二、两种教法——给思维“设疑”

苏霍姆林斯基说过：“能够把少年‘拴在你的思路上，引着他们通过一个个阶梯走向知识，这是教育技巧的一个重要特征。”练习课教学往往是对新知的延续和补充，对学生来说缺乏足够的吸引力。课堂上，教师如果能尝试不同教学方法，以此吸引学生的注意力，激活思维，相信一定会有不一样的收获。

【案例：苏教版数学五年级下册《分数的意义和性质》】

约分。

【片段一】

提问：观察这些分数，在约分时有没有小技巧。

学生沉默了，过了一段时间，有个别学生举手发言。

【片段二】

师：同学们已经会约分了，下面我们就来个三分钟约分比赛。

追问：观察一组分子和分母有什么特征，约分有什么技巧？

稍加思考后，学生们一下子了然了，积极表达的欲望高涨。

生1：分子和分母有倍数关系时，小的数就是他们的最大公因数，分子和分母同时除以最大公因数就可以约成最简分数。

生2：分子和分母都是11的倍数，直接用11来约分。

生3：分子和分母都是整十数，或是整百数，同时去掉相同个数的0，再约分。

生4：分子和分母没有这些特殊关系，在约分时我们可以逐一去找一找分子和分母有没有公因数2、3、5、7……应用以前学习的2、3、5的倍数的特征，可以提高我们约分的速度！

在片段一的教学时，只是简单地按照教材的呈现方式来展开教学，将所有的分数都混淆在一起，需要学生进行分类整理，再发现具有不同特征的分数在约分时的技巧，这对于绝大部分学生来说是相当困难的，所以课堂上教师提问后学生沉默了。在片段二的教学中，教师对分数进行了分类整理，列出了较为典型的具有同一特征的分数，学生从练习感悟—思索规律—恍然大悟，感受到了学习数学的乐趣。

只要教师善于寻找练习背后的精彩，有效展开教学，就能让学生既有的思维碰撞，又能品尝成功的喜悦，练习课同样鲜活、灵动、充满情趣。

三、适时改变——给思维“增色”

在练习课时，用足用好每一道练习题，明确每一道习题的作用和功能，显得尤为重要。教学中，教师还可对教材里的习题做适当调整、补充、拓展，让课堂走向开放，让学生的思维之花不断激发，知识不断深化。

【案例：苏教版数学五年级下册《简易方程》】

下表中的a、b、c表示3个连续的自然数。任意写出三组这样的数，并求出各组数的和。

（1）观察上表，你有什么发现？在小组里交流。

（2）你会用含有b的式子表示a或c吗？表示a、b、c的和呢？

（3）如果3个连续自然数的和是99，你能列方程求出这3个数各是多少吗？

这一练习有一定的难度，但这也是一个值得拓展的内容。如果运用得当，能激起学生的探究欲，寻找到规律所在，还能由此推导出其他相似的结论。在教学时，根据班级实际对练习进行拓展和重组。

师：观察上表，你有什么发现？在小组里交流。

在学生讨论的时候教师适当提示：这3个数与它们的和有什么关系？

有三个小组迅速得出了结论：3个连续的自然数，中间一个数乘3，就是它们的和。

其中有一位学生还精彩地举例论证了自己的结论：4、5、6，只要从6里拿出1给4，另两个数就变得和中间一个数一样大了，所以就可以用中间一个数乘3就行了。实际上她没有求和再除以3求平均数，而是通过移多补少来想的，更加简洁，易理解。经她这么一解释，再看看自己的例子，学生们一下子就明白了。有了移多补少的知识铺垫，学生只要想所举例子的几个数的大小关系就可以了。于是教师趁热打铁，马上问道：除了3个连续的自然数，还有哪些数也可能得出这样的结论？这一问，立即激发了学生的兴趣。他们猜测：

“4个连续的自然数，中间一个数乘4就是这4个数的和。”

“5个连续的自然数，中间一个数乘5就是这5个数的和。”

“3个连续的奇数，中间一个数乘3就是这3个数的和。”

“3个连续的偶数，中间一个数乘3就是这3个数的和。”

“3个连续的素数，中间一个数乘3就是这3个数的和。”

“3个连续的合数，中间一个数乘3就是这3个数的和。”

……

接下来，请四人小组任意选一个猜想举例论证。

小组成员有序、快速地活动起来。不久，教室安静下来，孩子们兴奋地举起了手，他们已经有满意的答案了：

生1：奇数个连续的自然数，中间的数乘个数等于它们的和。

生2：不一定非要连续的自然数，只要每相邻两个数的差相等就可以啦。

生3：奇数个连续的数，任意两个相邻数只要差相等，中间的一个数乘个数就等于它们的和。

多么令人惊喜的发现啊！他们由自然数联想到奇数、偶数，甚至联想到中学将要学习的等差数列，既有思维的广度，又有思维的深度。教育家皮亚杰说：“儿童是具有主动性的人，所教的东西，要能引起儿童的兴趣、符合他的需要，才能有效地促使他的发展。”数学教材是适合一般学生的学习内容，它不可能顾及每个学生的认知发展水平。事实上，由于受生活环境、学习条件等多种因素的影响，不同班级、同一班级不同学生的智力发展水平不尽相同。所以，教师可从学生的认知层面进行多方面的思考，对练习内容进行重组，让练习点燃每一个学生的智慧火花，满足每一个学生的求知欲。

数学课堂中的練习，如果只是对新知识的重复讲解、机械再做，学生会失去学习兴趣，思维能力无法得到提高。教师要从练习内容出发、从目标入手进行整体设计，积极调动学生的学习热情，引领学生的思维向更深处漫溯，让学生满载一船的收获，在数学世界里快乐放歌。

【参考文献】

[1]苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].北京：教育科学出版社，2016.

[2]陆志娟.在数学练习中发展思维能力[J].教学研究，2016（1）.