从“光行最速”原理到“法尼亚诺”问题
——基于物理问题融入HPM课例实践与思考

☉江苏省海安市李堡镇初级中学储秀梅

最近一次数学活动课上，我们基于整合不同学科教学内容的想法，从物理学科中光线反射的问题出发，引出几何中的轴对称性质的拓展应用，并链接数学史的“法尼亚诺”“问题，组织学生理解“数学难题”的证明思路，实践弗赖登塔尔“有指导的再创造”教学思想，取得了较好的教学效果.本文梳理该课教学活动与设计意图，并跟进教学立意的阐释，供研讨.

一、教学活动与预设意图

教学环节（一） 物理光线作图题

问题1：请利用平面镜成像的特点作出从光源S发出的一条光线，经平面镜发射后恰好经过A点的光路图.

图1

图2

预设意图：这个问题由物理老师提供，物理老师预设的是绝大多数学生很快就能作出图2，但物理老师也指出，在物理学科不需要学生进行证明，只要会画图就行了.所以数学课上，我们就从这个作图情境出发，先做物理史话的链接介绍，让学生认识费马光行最速原理.1657年，法国数学家费马提出著名的光行最速原理：光线所行进的“光程”最短.简略地说，光行进的时间最短.由于光速不变，即光线由点S经平面镜反射后到达点A的路程最短.进一步把问题抽象成数学问题，安排学生证明费马光行最速原理.

数学问题：已知，如图3，点S、点A在直线MN同侧，点C为直线MN上任意一点.

求证：当∠SCM=∠ACN时，SC＋AC最短.

图3

图4

预设意图：引导学生在直线MN上另取一点C′，连接SC′、AC′、A′C′，比较SC′+AC′与SC＋AC的大小，利用对称性转化到△A′SC′即可实现证明.

教学环节（二……