一则数学趣题中的思维

☉山东省莱芜市雪野旅游区雪野镇中心中学张秀玲

图1表示一个4×4的正方形网格，你能数出图1中一共有多少个正方形吗？

图1

这个问题看似不难，如果不假思索，贸然去数，极易出错.要么多数，要么漏数.那么，怎样才能既不重复也不遗漏地数出图1中所有正方形的个数呢？一个好的办法是分类.可以从正方形的边长入手对正方形进行分类，将正方形分成四类：（1）边长为1的正方形（16）；（2）边长为2的正方形（3+3+3=9）；（3）边长为3的正方形（2+2=4）；（4）边长为4的正方形（1）.所以图1中所有正方形的个数为16+9+4+1=30.

在解决上面趣题的过程中，我们从正方形的边长入手（当然也可从正方形的面积入手），对所有的正方形进行分类，最后将各种情况下得到的正方形个数相加，圆满求得正方形的总数.这里渗透了一种重要的数学思维方式：分类.这种将某种对象的全体，按照一定的标准，不重复、不遗漏地划分为若干部分或多种情况，称为分类.日常生活中分类的例子是很多的，比如，班上的学生如按性别划分，可以分为男生和女生两大类；按出生年月划分，又可以分为一月份生的、二月份生的、…、十二月份生的这十二类.对于一个较为复杂的问题，通过分类，将其分为若干较为简单的问题，然后对每个较为简单的问题各个击破，从而使整个问题最终获解.下面以例说明分类思想在解决数学问题中的应用.

一、当代数式中的字母具有不确定性时，需要对字母进行分类讨论

一般情况下，代数式中的字母既可表示正数，也可表示负数，还可表示0；……