一类薛定谔-泊松方程解的存在性

2019-01-11 08:56王丽丽庞翰禹
通化师范学院学报 2019年2期
关键词:方程解泊松薛定谔

王丽丽,庞翰禹

近年来,众多学者采用变分法来钻研泛函极值问题,并且已经涉猎到了无穷维空间上的非线性泛函问题.临界点理论是变分法的理论基础,它在证明解的存在性以及解的个数时都是最好的理论工具.在钻研薛定谔方程、泊松方程以及薛定谔-泊松方程时,学者们利用临界点理论中的山路引理、喷泉定理以及环绕定理来解决解的存在性问题,不仅取得了丰富的成果,而且其研究也促进了非线性泛函在数学领域的快速发展.

本文主要探究下面的薛定谔-泊松方程

解的存在性,其中3≤p<5,a与V分别为ℝ3上的连续函数.

迄今为止,诸多学者探究了薛定谔-泊松方程解的存在性,其中比较全面的研究可参考文献[1-7].余晓辉[1]运用山路引理讨论了薛定谔-泊松方程

至少含有一个非平凡解.Chen H Y和Liu S B[2]假设位势项V满足以下条件:

(V1)V(x)∈C(ℝ3,ℝ),V(x)下方有界,且对于任意M >0,都有 μ(V-1(-∞,M])<∞,其中,μ是ℝ3上的Lebesgue测度.

本文主要是研究带有函数V(x)和变号权a(x)时的薛定谔-泊松方程(1)解的存在性,这也是本文的创新点之一.

1 预备知识

引理1[3](山路引理)设 E 是Banach空间,I∈C1(E,ℝ)满足

1)I(0)=0 ,存在 ρ >0 ,使得 I∂Bρ(0)≥ α >0 ;

令Γ是E中联结0与η的道路的集合,即Γ={g∈C[0,1],E)|g(0)=0,g(1)=1},

定义1((PS)c序列) 设E是Banach空间,c∈R为给定的实数.若存在序列{un}⊂E,使得I(un)→c,I′(un)→0 ,则称序列{un}是在c水平集的一个(PS)c序列.

定义2((PS)c条件) 设E是Banach空间,如果对于E中任何点列{un},只要{I(un)}有界,且 I(un)→0(n→∞),则{un}必有收敛子列,称I∈C1(E,ℝ)满足(PS)c条件.

定理1 假设以下条件(V)及(a)成立:

(V)V(x)∈C(ℝ3,ℝ),V(x)≥1且对于任意M >0,都有 μ(V-1(-∞,M])<∞ ,其中,μ 是 ℝ3上的Lebesgue测度;

2 主要结果

2.1 泛函结构

由Riesz表示定理知,对于任意固定的u∈H1(ℝ3),存在唯一的 φu∈D1,2(ℝ3),使得 φu满足泊松方程-Δφ=u2,则方程(1)便可表示成含有一个变量的方程[8]

于是求解薛定谔-泊松方程(1)等价于求解方程(3),方程(3)的解为对应能量泛函

的临界点.

因为 ∀q∈[2,2*],E连续嵌入到由E连续嵌入到.由 Hölder不等式及C‖u‖4.

引 理 2 定 义 Φ:H1(ℝ3)→D1,2(ℝ3),u→

1)Φ是连续的且Φ是将有界集映射到有界集;

2)若在E中{un}有界且un弱收敛于u,则

证明 1)证明见参考文献[7]中引理2.1.

2) 由 于 φun弱 收 敛 于 φu,则 有

下面往证 ∫ℝ3φun|un-u2|dx→0,n→∞.根据Sobolev不等式及Hölder不等式,有以下不等式成立

又由于

2.2 (PS)c条件

引理3 泛函I满足(PS)c条件

证明 设{un}⊂E是(PS)c序列,则对于c∈R,有 I(un)→c,I′(un)→0(n→∞).

于是有

又因为 I′(un)un=o(1)‖un‖,则

由(5)和(6)得

于是有

又由于

从而有

故 有 ‖un‖→ ‖u ‖ ,即 在E中 有un→u(n→∞).假设un不收敛于u,则‖un‖<‖u‖.又根 据 条 件此不等式与等式(7)矛盾,所以有un→u(n→∞).

2.3 定理1的证明

下面分两步来找到I(u)的临界点.首先证明存在 ρ>0,α>0 ,使得 I(u)≥α 成立,其中∀u∈E,‖u‖=ρ,则从而存在 ρ>0,使得 I∂Bρ(0)>α>0.

显然存在充分大的t0,使得 I(t0φ)<0,取η=t0φ,定义 Γ={g∈C[0,1],E)|g(0)=0,g(1)=1}及,由山路引理知,c为 I的一个非平凡的临界点,即式(1)至少存在一个非平凡的解.

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