证明数列不等式的另一扇门—逐项比较法

广东省东莞中学(523005) 卢 众

数列不等式考察学生的综合能力,让很多学生望而生畏.解决此类问题有放缩法,数学归纳法,构造函数,单调性法等几种重要方法,其中最主要的是放缩法.放缩法既可以先放缩再求和,也可以先求和再放缩,放缩的方式千变万化,常见的有裂项放缩,等比放缩,基本不等式或其他重要不等式放缩.这些方法都是从正面去分析问题,分析的过程往往因为看不到问题的本质,找不到合适的方法,需要不断的尝试.

文中通过几个典型例题介绍逐项比较法,它是通过拆分完整式逐项比较,找到题目的切入点.

1.解法探究

例1 已知n ∈N+,求证：

分析这道题目既可以利用数学归纳法,也可利用裂项放缩证明,下列三种对通项的放缩方式都是可行的：

而且从放缩的程度上而言,后者优胜于前者,因为放缩后与原始最接近,即产生的误差小,更容易证明相应的结论.但如果对上述放缩方式不熟悉,那又有什么办法切入呢? 为方便叙述,将具有相似结构的n项和(积)的形式称为展开式,而完整部分称为完整式.由于该题目展开式无法求和,观察到展开式是以为通项的数列{bn}的前n项和Tn,也可考虑将右边的完整式看成数列{an}的前n项和Sn.

解答设数列{an}的前n项和为则令n ∈N+,n=1 时,a1=b1=1;n≥2 时,所以bn≤an,n ∈N+,则将数列{bn},{an}的前n项分别累加,得Sn≤Tn,即

点拨这种方式没有将展开式直接求和,也没将其放缩后再求和,而是反其道而行,是将完整式通过数列前n项和(积)的定义,拆分为若干项的和(积),比较每一项.思考时容易切入,且计算难度降低.

例2 已知n ∈N+,求证(1+1)·

分析这题也可拆分,不等式左边的展开式是以为通项的数列{bn}的前n项积Tn,不等式右边的完整式为数列{an}的前n项积Sn,即

解答设数列{an}的前n项积为n ∈N+,则数列{bn}的通项为因为所以bn＞an＞0,n ∈N+,将数列{bn},{an}的前n项分别累积,则Tn＞Sn(n ∈N+),即

例3 已知n ∈N+,求证：

分析数列通项虽然是分式结构,但裂项放缩有些困难,观察到式中含有指数结构,因此可以考虑等比放缩,数列的首项可以是第一项b1==1,而前后两项的比值单调递增,且极限为因此公比可以是q=从而只需证明且数列{bn}的前n项和小于

解答设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=则因为所以

2.方法总结

逐项比较法本质是化整为零,是一种避难就易的方法,通过对完整式的拆分,得到的公式是最接近原始通项公式的一种放缩.能够对放缩的程度能够巧妙的避免从繁琐的公式中找到合适的放缩方式.其主要步骤为：

(1)拆分完整式,化整为零,构造数列的通项

(i)若完整式含n,由数列前n项和(积)的定义可得通项an=(或an=

(ii)若完整式是常数c,将c定义为某无穷等比数列{an}的和再由展开式的第一项确定数列的首项a1,则公比q=1-或根据前后两项的比值先确定公比q,再确定首项a1=(1-q)c,从而an=a1qn-1(n ∈N+);

(2)比较展开式中的通项bn与完整式对应的通项an大小;

(3)将数列{bn},{an}分别累加(乘)即可得到相应的结论.

3.教学反思

数列不等式问题的解法较多,但学生学习的过程中,往往是被动的接受各种方法或者因为各种尝试找不到合适的方法而苦恼.逐项比较的思想,通过化难为易,化整为零各个突破,能够让学生在思考的过程中,克服思考的障碍,增加对数学的兴趣,增强对探索的欲望.