合情·究理·善用

丁爱平

[摘 要]小学数学教学应具有整体观，以学生在中小学十二年数学学习的跨度为背景，对当下小学数学教学做出理性审视和创新实践：合“情”入境，悦动数学学习的“第一感”；究“理”启思，内炼理性精神；得法善“用”，用数学慧眼创造完整的学生世界。

[关键词]中小学十二年；學习背景；小学数学教学

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）11-0001-04

2018年的江苏高考数学再掀热议。家长有抱怨：从小到大，奥数、“学而思”培训都上了，十二年的苦读就是为了最后的分数啊。教师有遗憾：四轮复习，该讲的都讲了，最后的19、20题还是不理想，学生自主探究的能力太弱了。专家有解读：江苏高考数学重点考查学生的数学素养，关注学生的自主探究和创新思维。

不妨回到原点，为什么要学数学？

学好数学，决胜高考，进入理想的大学，这无可厚非。平心而论，高考机制下的人才选拔，应试是不可回避的，关键在于用什么样的学习理念和方式来获得成绩。当然，学习数学的根本意义在于提升数学素养、立德树人，在生活中善用数学的眼光发现问题、分析问题和解决问题。况且一个人的数学知识会日渐淡忘，而数学思想方法、数学文化、数学审美会在不知不觉中发挥作用，使人受益终身。

回到问题本身，训练已经足够多，学生的自主探究能力却还弱，症结在哪里？通过对学生的长线跟踪，我发现原因是“三少”：少“情”、少“理”、少“用”。其一，学生为完成学习而学习，深度卷入得少，造成学习的热动力和效能感不足。其二，拼命刷题，忙于做“事”，欠缺究“理”。不究“理”，知识点就显得孤立、单薄、浮于表面，各知识板块之间的“暗道”就不通，也就不能建构完整的知识结构，这是制约学生自主探究的主要原因。其三，只顾埋头“学”，不善于抬头“用”，符号学习不能上升为经验学习，学得比较呆板，开拓性不够。

因此，在学生十二年数学学习的跨度下，六年的小学数学教学应当合“情”入境、究“理”启思、得法善“用”，为学生数学素养的发展奠基。

一、合“情”入境，悦动数学学习的“第一感”

第一感的本义是指人的“视、听、嗅、味、触”五种基本感觉中的视觉。至少有80%以上的外界信息经视觉获得，视觉是人和动物最重要的感觉。数学学习的“第一感”，简而言之是指学生看到的数学学习的“模样”，这个“模样”是学习情感的表达、数学知识的呈现、思维火花的激扬等。它所代表的是数学素养结构中的精神实体，例如数学情感、思维品质、价值判断、审美追求等，是悦动学生数学学习的重要因素。

（一）数学课堂有温情，尊重学生的“非数学语言”

一位教师在执教“分数的认识（一）”时，她哭笑不得——

师：现在有两个苹果，要平均分给两个小朋友，应该怎么分？

生1：一人分一个。

师：把一个苹果平均分给你们两个（指着同桌两个学生），应该怎么分呢？

生2：我俩一人一半。

生3：把我的一半给他，我不吃了。

师：这怎么行？这是数学课！好好想想应该怎么分？

（生3悻悻地坐下；教师立刻调转头，请其他学生说出“二分之一”，再没有请她发言，也许是担心她再爆“金句”。）

小学低年级课堂不像中学那样纯粹，会突然出现“非数学”的画面。生3课后表示：同桌喜欢吃苹果，吃半个太少，就再给他半个。学生的非数学语言情有可原，教师应该把学生思维、教师思维、数学思维进行巧妙地链接，不妨顺势说道：“小姑娘，你对同学真好！能用一个数表示你给他多少苹果吗？”揭示二分之一后，再接着说：“你不但会思考数学问题，还关心同学，我们都要向你学习！”这样的教学不急不躁，温情而美好。

同样是“分数的认识（一）”的教学，意境迥然不同——

师：最早发明分数的是哪国人？

生1：中国！很多数学知识都是我们中国人发明的！

师：是啊，身为中国人，我们感到十分自豪！

生2：名字好奇怪，为什么叫分母、分子？（学生都很好奇）

生3：我知道。母是妈妈的意思，子是孩子的意思。

师：说得真好！那分数是怎么来的呢，咱们平均分一个东西，先分出了分母，再数出了分子。先有“妈妈”，再有“孩子”，你们看，“妈妈”把“孩子”高高地托在头上。

（二）数学思维有激情，让数学表征多飞一会儿

周卫东老师重构“分数的认识（一）”这一课也令人赞叹。

师：猪八戒先吃了2个饼，又吃了1个饼，最后他想吃一小块。“一小块”是多大呢？

（学生拿出圆片，撕出了不同的“一小块”（如图1）。）

师：都是一小块，为什么大小和形状都不一样呢？

生1：因为八戒说得不清楚，不明确。

（撕出的“一小块”大小不同的这个设计，精妙之处在于从定性描述到定量刻画，突出用分数表示部分与整体之间关系的必要性。）

师：八戒说：“我要的一小块是这样的，我画给你们看一下。” （如图2）

师：怎样表示这个“一小块”的大小，让人一听就明白？

（学生在白纸上自由表达自己的想法，然后介绍各自的作品；典型作品有：①一半的一半；②把一个饼分成了4块，吃其中的1块；③4分之1； ④[ 41]；⑤[ 14]。）

师：仔细观察这些作品，你有什么发现？

生2：除了①号，其他的都有数字4和1。

生3：都是在分、分、分。

生4：后面三个都是分数。

生5：其实①号的“一半的一半”，也就是四分之一，4和1藏在里面。

生6：当然都在分啊，一小块不是一个饼了，比一个饼少。

师：哦，是怎么分的呢？这4份是随便分的？

生7：不是，要4份一样大。

生8：要平均！

师：对，平均分。（在②号作品中添加文字“平均”）最后两个数很有意思。

生9：我支持④号，很顺。

生10：不对啊，我看到过的四分之一是和⑤号一样，是倒着写的！

生11：为什么要倒着写啊？4和1中间为什么还有一横？

这样的数学课堂，“教”的色彩很淡，“探”的气氛很浓，“为什么”很多，留给学生的空间很大，着力于发挥每个学生的主体性，挖掘每个学生的最大潜能，让每个学生在求真、民主、合作、愉悦的良好氛围中获得预期的意义建构、能力提升以及全面发展。

（三）教学素材有“智趣”，体现少量主题的深度覆盖

“必须用少量主题的深度覆盖去替换学习过程中对所有主题的表面覆盖，这些少量主题使得一些关键概念得到理解。”（摘自《人是如何学习的》）多练多讲并非是提升数学素养的决定性因素。教师要基于学生立场，创编有故事性、数学性、思想性的教学素材，“以一当十”，智趣丛生、内蕴思想，从而激活学生的思维与想象、审美与情怀，悦动学生数学学习的“第一感”。

例如，“分数的认识（二）”的教学重点是让学生认识一个整体的几分之一。我设计了一个“春江水暖鴨先知”的童话故事作为巩固练习情境。

画面1：根据不同的“整体”发现若干分数。

画面2：通过“游来一只小黄鸭”，引发学生逆向思考。

画面3：通过“3只白鸭毛色不同”，再次凸显一个整体的几分之一的含义。

画面4：通过“鸭妈妈在岸上呼唤小鸭们去看外婆”，引导学生思考12里面可以拿出几个不同的几分之一。

故事情节的推进，就是富有层次的思维推进，有情趣、有深度，既有用数学眼光发现问题、分析问题的智慧，又有润泽学生心灵的人文情怀，感性与理性相融共生。

二、究“理” 启思，内炼理性精神

克莱因博士说：“数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在和提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求已经获得知识的最深刻的和最完善的内涵。”

（一）究“规则之下的道理”

“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。”数学恒定的规则、严密的推理、抽象的概念都是数学内容的理性表达。

比如四则运算法则的教学，要让学生体会到规则的合理性和必要性，数学的客观性和严谨性。我的学生小信极有主见，有一天，他找我理论：“对于8+4-2=？我先算4-2=2，再算8+2=10，一点没错。对于8×4÷2=？我先算4÷2=2，再算8×2=16，还是对的。谁说同一级别的运算，非得从左到右算啊？”如何才能既保护学生的主观意识，又让他信服于数学的理性客观呢？我先带着他用画圆圈的方式解答了这两道题，再给出两道题“8-4+2”和“8÷4×2”让他回去琢磨。第二天，他用乘客坐汽车的故事把道理讲得清清楚楚。

“不讲规则，随心所欲！”中学教师批评小学教师教得太散漫，导致中学生在做几何证明时杂乱无章、漏洞百出，纠正起来特别费劲。小学教师辩驳：小学生的思维是形象具体、灵动浪漫的，如果一开始就“严谨、精细”，不就捆缚了他们思维的灵活性和创造性？我认为，数学的思维过程和结果表述同等重要。思维过程是粗放派，激励学生敢于尝试、打破常规思路，富有个性，寻求独创；结果表述则是工笔，是浓缩的智慧，因为每一个式子、数据、符号都不是主观臆想的，都有来龙去脉，都精准到位，以便高效地记录、交流和传播。

当然，探究“规则之下的道理”并不等于固守已有知识经验。知识的不断重构是数学思维发展的一个基本形式，教师可以结合数学史，让学生自觉反思和更新已经建立的观念。

（二）究“结构性关联”

随着年级的升高，数学知识的容量越来越大，学习节奏也越来越快。在高三的冲刺阶段，学校已经不再统一安排学习时间，而是让每个学生自主复习。这时，一直保持定期做知识整理、形成知识结构的习惯的学生学习效率特别高。因此，从小培养“结构化”意识尤为重要。

例如，教学一年级的10的分与合、10以内加减法、一图两式和一图四式、含有括线的实际问题、解决实际问题，以及二年级的乘法和除法时，如果只是平铺直叙这些知识点，学生的“知识仓库”就会日趋拥挤凌乱，导致学生在解决问题时不能准确调用知识。

教师应站在广阔的知识背景下，抓关联、抓结构，对学生进行普遍联系、运动变化、对立统一、量质互变等观点的启蒙。在一年级学完加减法之后，可以引导学生归纳出加减关系的分与合图式，学完乘除法之后，再做补充。教学内容看似繁多，其实都可以统整为最上层的分与合图式（如图3）。对于加减、乘除之间相互独立又相互依存的互逆性，以及加和乘、减和除之间的内在联系，如果用模型图揭示，学生就有了整体结构感，认知会更为清晰和理性。

（三）究“有理有据的批判”

一个具备优秀数学必备品格的人，不会盲目相信和照搬照抄，因为他具备了批判性思维。批判性思维是有目的的、自我调节的判断。这种判断表现为解释、分析、评价、推断，以及判断的论据、概念、方法、标准或语境的说明，是一种不可缺少的思维形式。解放学生的大脑，让学生勇于批判，是培养学生理性精神的重要手段。

例如，二年级的一道非常规试题：有一些苹果，如果每盘放4个，最多放5盘，还有一点剩余。丁丁说：“这些苹果如果每盘放6个，最多能放4盘。”他说得对吗？把你的想法写下来。（可以画图，可以写算式，也可以用文字表述）

常言道：“思虑则得事理，得事理则必成功。”理性要求人们对客观事物获得全面的认知，完成“感性具体——理性抽象——理性具体”这一过程。这一过程对于小学生来说，是初步的感悟和初步的经历。上述这道题颠覆了常规的有余数除法的命题方式，题目富含广阔的思维空间，没有刻板固定的答题模式，多元开放，有利于培养学生的批判性思维，提升学生的数学素养。

三、得法善“用”，用数学慧眼创造完整的学生世界

（一）“活学活用”——馥郁數学的生活味

史宁中教授指出，数学教育的终极目标是会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。英国数学家怀特海在《教育的目的》中提出“教育只有一个主题，那就是五彩缤纷的生活”。在他看来，教育的最终目标并不是让学习者掌握客观的理论知识，而是通过对理论知识的学习，学习者能够处理生活中遇到的各种问题，形成自己的生活体验。

例如，习题：俊俊的学习和作息十分有规律。每天20：00睡觉，早晨6时起床。因为睡眠充足，他个儿长得高，有148厘米。俊俊和爸爸妈妈打算到南京南站坐火车去汉口旅游。图4是俊俊在网上查询的列车时刻表。

俊俊每天的睡眠时间有（ ）小时。俊俊从家到南京南站至少需要15分钟，火车提前10分钟停止检票，俊俊一家最迟不得超过（ ）时（ ）分从家出发。火车在当天下午（ ）时（ ）分到达汉口火车站。根据网上的票务信息，怎样购票最省钱？你认为合理的决策是

（ ）。

数学素养的提升，不是云端之舞，它应该渗透在日常的校园生活中。我常常引导学生带着数学的眼光来过一种有意思的、有“数学气质”的校园生活：统筹安排出操晨会、收发作业、打扫卫生等各种活动，预算人力和时间，笔算、估算随时调用。我校每学期都指导学生开展“数学与生活”综合实践课程，每个寒暑假都开展“我的数学创意”假日小队活动。“生活”这个大熔炉让学生逐渐学会用数学慧眼发现、分析和解决问题。

（二）“无用之用”——拥抱长远的发展

在迫切追求升学率的“征战”中，教师常常会忽视一些看似“无用”实则“有用”的东西：闲暇与漫思，审美与情怀，思想与文化……其实，它们是推动学生长远发展的生命力。关注“无用之用”，是一种理念、一种情怀、一种责任。

1.“舍不得”的闲暇漫思

有一些课的教学环节太多，密不透风。学生自主探究的时间以教师得到所要的答案为止，未完成的学生也只能停笔；小组讨论刚进行短短一两分钟，教师就请学生发表意见，有的小组成员都没来得及说话。可见，教师预设太多，干预太早，迫切要呈现“教”的精彩。

以“学”为中心才是小学数学课堂的走向，教师要舍得放手。如果放手让学生自主探究，课堂的意外生成必然增多，必然会耗用大量教学时间，对此，教师要舍得给时间。在结论一时半会还不能水落石出之时，教师要按捺住挺身而出的冲动。在预设的答案出来之后，教师不妨再多等待一会，也许迟到的精彩正在路上：看到哪个学生埋头沉浸在自己的世界里，在点名批评他之前，不妨再忍耐一会，说不定他有独特的想法 。

2.“考不到”的人文情怀

考什么就教什么，怎么考就怎么教，这种“唯应试”的功利化的教学观依然存在。慢下来，把短期绩效的压力放下来，细细打量每一个数学内容，看似抽象、冷峻的数学知识，如果让它自由地呼吸外面的空气，它也会很丰富、很灵动、很浪漫。

例如，教学“圆的面积”时，我在课尾果断拿掉一道拓展题，改为播放经典绘本《丢失的一角》。这个绘本无关圆面积公式的计算，看似“无用”，但是蕴含其间的文化、人文情怀、人生哲学值得教师和学生回味一辈子。

3.暂时“用不上”的数学思想

一年级的数学知识简单、内容少，很多学生早就学会了10以内加减法。怎样把“简单”变得“丰富”？我把数学家张景中先生的一则科普介绍创编成一节课——《有趣的加法线》（如图5）。

在这场神奇的“数形结合之旅”中，学生十分惊叹：原来在方格纸上也能做加法；0+5、1+4、2+3、3+2、4+1、5+0都在同一条斜线上，它可以命名为“5的加法线”；为什么越往右加法线越长？为什么那么多加法线依次排开不碰头？有减法线吗？……学生的问题层出不穷。数学思想与文化、逻辑与推理，这些一年级学生暂时“不会用”的“无用”之材，若隐若现，润物细无声。

杜威说：“教育的目的就是生长。”小学数学教学应该赋予学生生长的力量，合“情”入境、究“理”启思、得法善“用”，让每一个学生都能在未来的3年、6年，乃至一生的学习中快乐求索。

（责编 金 铃）