感应电动势的多样情景

云南 蒋金团

根据法拉第电磁感应定律，只要穿过回路的磁通量发生了变化，在回路中就会有感应电动势产生，感应电动势可以分为动生电动势和感生电动势两类。动生电动势的产生机理是由于外力使导体或回路切割磁感线，而使导体内自由电子受到洛伦兹力定向运动产生电动势；感生电动势的产生机理是固定回路中的磁场发生变化，变化的磁场产生涡旋电场，涡旋电场对回路中的电荷施加的作用力是一种非静电力，它引起了感生电动势。虽然产生感应电动势的原因只有两种情况，但命题者可根据改变导体的运动方式、改变导体的形状、改变磁场的空间分布、改变磁场的变化方式等手段丰富磁通量变化的内涵，本文对这类问题做些探讨。

一、恒定匀强磁场中产生的感应电动势

1.直线导体平动切割磁感线

直线导体在匀强磁场中平动切割磁感线产生的电动势为动生电动势，计算公式为E=BLv，使用这个公式的条件是B、L、v三个物理量两两垂直；碰到不垂直情形时，必须通过正交分解构造两两垂直。

【例1】半径为a右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0。圆环水平固定放置，整个内部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图1所示。则

( )

A．θ=0时，杆产生的电动势为2Bav

C.导体直杆上M点的电势低于N点的电势

【答案】AD

【点评】(1)用E=BLv计算时，L为有效长度；(2)切割磁感线那部分导体相当于电源，用右手定则判断出感应电流方向以后，根据“电源内部电流从负极流向正极”可判断出其正负极，则正极端的电势高于负极端的电势；(3)当电路闭合时，电源两端的电压是路端电压，不能错误当成电动势。

【例2】如图2，在水平面(纸面)内有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨。空间存在垂直于纸面的均匀磁场，用力使MN向右匀速运动，从a位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触。下列关于回路中电流i与时间t的关系图线，可能正确的是

( )

【解析】设∠bac=2θ，单位长度电阻为R0

则MN切割产生电动势

E=BLv=Bv·2vt×tanθ=2Bv2ttanθ=k1t

回路总电阻为

由闭合电路欧姆定律得

i与时间无关，是一个定值，故A正确，BCD错误。

【答案】A

【点评】本题巧妙之处在于电动势和总电阻都随时间均匀增加，从而导致电流恒定不变，该题可当成经典模型进行记忆。

2.折线(曲线)导体平动切割磁感线

当折线棒或曲线棒平动切割磁感线时，将棒的两个端点连成直线，若该连线与速度和磁场的方向都垂直，则两端点之间的距离为有效长度。

( )

【答案】B

【点评】将折线棒的两个端点连成直线，设想回路是闭合的，则闭合回路的磁通量没有发生变化，不会产生感应电流，此时可理解成折线棒产生的电动势与两端点连线产生的电动势抵消，这样一来，计算折线棒产生的电动势可转化成计算两端点连线产生的电动势，这正是有效长度的原理所在。

【例4】如图4所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路，虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直，从D点到达边界开始，到C点进入磁场为止，下列结论正确的是

( )

A．感应电流方向不变

B．CD段直线始终不受安培力

C．感应电动势最大值Em=Bav

【答案】ACD

3.直线导体棒旋转切割磁感线

【例5】如图5所示，长为L的金属OA杆绕过O点垂直于纸面的固定轴匀速转动,角速度为ω，匀强磁场垂直于纸面向里,磁感应强度为B,磁场范围足够大,金属杆OA产生的感应电动势的大小可以用以下2种方法推导。

方法1法拉第电磁感应定律法

设在时间Δt内金属杆扫过的面积为ΔS，则

感应电动势为

方法2等效法

( )

【解析】从静止开始绕过圆心O以角速度ω匀速转动时，线框中产生的感应电动势大小为

磁场变化时产生的电动势为

根据题意两次产生的感应电流相等，因为电阻保持不变，两次产生的感应电动势也相等，即E1=E2

【答案】C

【点评】本题既考查了动生电动势的计算方法，也考查了感生电动势的计算方法，两次产生的感应电流相等是联系两次电磁感应信息的桥梁。

【例7】半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图7所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻(图中未画出)。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g，求：

(1)通过电阻R的感应电流的方向和大小；

(2)外力的功率。

【解析】(1)在Δt时间内，导体棒扫过的面积为

根据法拉第电磁感应定律，导体棒产生的感应电动势大小为

根据右手定则，感应电流的方向是从B端流向A端，因此流过导体R的电流方向是从C端流向D端；由欧姆定律流过导体R的电流满足

(2)对导体棒受力分析，竖直方向受重力，两圆导轨的支持力，水平方向受外力F、安培力、两圆导轨的滑动摩擦力。

在竖直方向根据平衡条件有mg=2FN⑤

在水平方向上根据平衡条件有F=BIr+2μFN⑥

【点评】(1)当导体棒只有部分旋转切割磁感线时，可取切割部分两端点的速度之和的一半作为平均速度；(2)本题中的外力不一定沿着速度方向，但是把外力分解成沿着速度和沿着半径的两个分力时，沿着半径的分力不做功，因此求外力的功率时，可设外力方向与速度方向相同。

4.圆盘转动切割磁感线

【例9】法拉第圆盘发电机的示意图如图9所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是

( )

A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定

B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动

C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化

D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍

【答案】AB

【点评】本题考查了圆盘旋转切割磁感线的处理方法，我们做这类题时不但要学会感应电动势和感应电流的计算，还要学会判断圆盘两极电势的高低。

二、恒定非匀强磁场中产生的感应电动势

【例10】如图10所示，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合。若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则以下最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是

( )

【解析】圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合，圆环中磁通量变化不均匀，产生的感应电流不是线性变化，A错误；铜环下落到磁铁顶端的速度小于下落到磁铁底端的速度，铜环下落到磁铁顶端产生的感应电流小于下落到磁铁底端产生的感应电流，选项B正确，CD错误。

【答案】B

【点评】本题也可以从切割磁感线的角度加深理解，磁铁正中央发出的磁场方向是竖直向下，圆形线圈来到这个位置时，瞬时电动势为0，所以前半段过程的电流先增大后减小。

三、磁场均匀变化时产生的感应电动势

1.回路中只有感生电动势

【例11】如图11所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B，在此过程中，线圈中产生的感应电动势为

( )

【答案】B

【点评】计算磁通量的变化量时，必须取有效面积，对称轴右方的面积无磁场穿过，为无效面积。

2.动生电动势和感生电动势共存

【例12】如图12所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t变化的关系为B1=kt，式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里。某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计。求：

(1)在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；

(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。

【解析】(1)金属棒越过MN之前，从t=0到t=t0的时间间隔内回路的磁通量的变化量ΔΦ=ΔB·S=kSt0

(2)当t>t0时，金属棒已越过MN，设时刻t回路中的电流为It，则有

时刻t回路中的磁通量Φt=kSt+B0lv0(t-t0)

因为金属棒在MN右侧做匀速直线运动

【点评】动生电动势和感生电动势共存时，先用楞次定律和右手定则判断出两者的方向是否相同，当方向相同时，总电动势等于动生电动势和感生电动势之和；当方向相反时，总电动势等于动生电动势和感生电动势之差。

3.按正弦规律变换的磁场问题

【例13】(2018年全国Ⅲ卷第20题)如图13中(a)，在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧，导线PQ中通有正弦交流电i，i的变化如图(b)所示，规定从Q到P为电流正方向。导线框R中的感应电动势

( )

D.在t=T时最大，且沿顺时针方向

【答案】AC