2019年全国高考理科数学模拟试题

戴红

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 全卷共150分. 考试用时120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合A={x∈R│x2-3x+a>0}，且2？埸A，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞，2]  B.[2，+∞）   C.（-∞，-2]   D.[-2，+∞）

2. 已知向量■与■的夹角为■，且■=1，■=2，若（3■+？姿■）⊥■，则实数？姿=（）

A. -3 B. 3 C. -■ D. ■

3. 设a>0，b>0，则“a2+b2≤1”是“a+b≤ab+1”的（）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

4. 如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”. 图中的“aMODb”表示a除以b的余数，若输入a，b的值分别为195和52，则执行该程序输出的结果为（）

A. 13 B. 26

C. 39 D. 78

5. 设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a-3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）

A. y=3x+1   B. y=3x-3 C. y=-3x+1 D. y=-3x

6. 已知x=■是f（x）=asinx+bcosx一条对称轴，且最大值为2■，则函数g（x）=asinx+b（）

A. 最大值是4，最小值为0 B. 最大值是2，最小值为-2

C. 最大值可能是0         D. 最小值不可能是-4

7. 在等差数列{an}中前n项和为Sn，且S2019=-2019，a1011=1，则a2019的值为（）

A. 1008 B. 2018

C. 1009 D. 2017

8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

A. ■    B. ■

C. ■    D. ■+1

9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（）

A. ■+1B. ■C. ■+1D. ■

10. 将A， B， C， D，E五种不同的文件随机地放入编号为1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A， B被放在相邻的抽屉内且文件C， D被放在不相邻抽屉内的概率为（）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

11. 已知变量x， y满足约束条件x+2y-3≤0，x+3y-3≥0，y-1≤0，若目标函数z=ax+by（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（）

12. 函数f（x）在定义域（0， +∞）内恒满足：①f（x）>0;② 2f（x）

A. ■<■<■          B. ■<■<■

C. ■<■<■            D. ■<■<■

第Ⅱ卷（非選择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.

13. 已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为___________.

14. 抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C： x2+y2+6x+8y+21=0上，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+PQ的最小值为___________.

15. 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，E为PC的中点.若直线AE与平面PBC所成角的正弦值为■，则PA的长为______________.

16. 用max{a、 b}表示a、b两个数中的最大数，设f（x）=max{x2，■}（x≥■），那么由函数y=f（x）的图像、x轴、直线x=■与x=2所围成的封闭图形的面积是___________.

三、解答题：本大题共六小题，共计70分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=Asin（？棕x+？渍）（A>0，？棕>0，？渍< ■）的图像与y轴交于（0， 2），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0， 4）和（x0+■， -4）.

（1）求函数f（x）的解析式及x0的值;

（2）若锐角？兹满足cos？兹=■，求f（？兹）.

18.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为■、■、■，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（I）求该同学被淘汰的概率;

（Ⅱ）該同学在选拔中回答问题的个数记为？灼，求随机变量 ？灼的分布列与数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED//PA，且PA=2ED=2.

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PCE;

（Ⅱ）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P-CE-D的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知中心在原点的椭圆C： ■+■=1（a>0， b>0）的一个焦点为F1（3， 0）， M（4， y）（y>0）为椭圆上一点，△MOF1的面积为■.

（1）求椭圆C的方程;

（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、 B两点，且以线段AB为有经的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由

21.（本小题满分12分）函数f（x）=x2+mln（x+1），

（1）当m=-4时，求函数f（x）的单调减区间;

（2）若函数f（x）有两个极值点x1， x2，且x1

选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-4：  坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（■， ■），直线l的极坐标方程为？籽cos（？兹-■）=a，且点A在直线l上.

（1）求a 的值及直线l的直角坐标方程;

（2）圆c的参数方程为x=1+cos？琢，y=sin？琢（？琢为参数），试判断直线l与圆的位置关系.

23 .（本小题满分10分）选修4-5：  不等式选讲

已知函数f（x）=x+1.

（1）解不等式：f（x）≤2x;

（2）若不等式f（x）-x-2≥a的解集为非空集合，求a的取值范围.

2019年全国高考理科数学模拟试题参考答案

一、选择题：A;B;A;A;D;C;D;B;A;C;D;D.

二、填空题：13. ■？仔;14.■-2;15. 2或■;16. 3-■.

三、解答题：

17.（1）依题意得A=4，∵ （x0+■）-x0=■，∴ f（x）的周期为？仔，从而？棕=2. 由2=4sin（2·0+？渍）及？渍<■得？渍=■.

∴ f（x）=4sin（2x+■）.

由2x0+■=■，得 x0=■.

（2）∵ cos？兹=■，？兹∈（0，■），∴ sin？兹= ■.

f（？兹）=4sin（2？兹+■）=4sin2？兹cos■+4cos2？兹sin■.

=2■sin2？兹+2cos2？兹=4■sin？兹cos？兹+4cos2？兹-2

=■.

18. 解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i=1， 2， 3），

则P（Ai）=■，P（A2）=■，P（A3）=■，

所以该同学被淘汰的概率为：

P=P（A1+A1A2+A2A2A3）=P（A1）+P（A1）P（A2）+P（A1）P（A2）P（A3）

=■+■×■+■×■×■=■.

（Ⅱ）？灼的可能值为1， 2， 3，P（？灼=1）=P（A1）=■，P（？灼=2）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=■×■=■，P（？灼=3）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=■×■=■.

所以的分布列为：

数学期望为E？灼=1×■+2×■+3×■=■.

19. 证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.

因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥PA，且OF=■PA.

因为DE∥PA，且DE=■PA，所以OF∥DE，且OF=DE.

所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.

∵ PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，所以PA⊥BD.

∵ ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

∵ PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC. 因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.

因为FE？奂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.

（Ⅱ）因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2.

所以AC=AB， 故△ABC为等边三角形. 设BC的中点为M，连接AM，

则AM⊥BC. 以A为原点，AM， AD， AP分别为x， y， z轴，建立空间直角坐标系A-xyz. 则P（0， 0， 2），C（■， 1， 0），E（0， 2， 1），D（0， 2， 0），

■=（■， 1， -2），■=（-■，1，1），■=（0，0，1）.

设平面PCE的法向量为■=（x1，y1，z1），则■·■=0，■·■=0，

即■x1+y1-2z1=0，-■x1+y1+z1=0.令y1=1，则x1=■，z1=2.所以■=（■， 1， 2）.

设平面CDE的法向量为■=（x2， y2， z2），

则■·■=0，■·■=0，即z2=0，-■x2+y2+z2=0.令x2=1，则y2=■，z2=0，所以■=（1， ■， 0）.

cos〈■， ■〉=■=■=■.

设二面角P-CE-D的大小为？兹，由于？兹为钝角，所以cos？兹=-■，

即二面角P-CE-D的余弦值为-■.

20.（1）∵ ■=■，∴ ■y=■？圯y=1.

∵ M在椭圆上，■+■=1……（1）

∵ F1是椭圆的焦点，∴ a2=b2+9……（2）

由（1）（2）解得：a2=18，b2=9，

椭圆的方程为■+■=1.

（2）OM的斜率k=■，设l的方程为y=■x+m，

联立方程组y=■x+m，■+■=1整理得9y2-16my+8m2-9=0.

设A、 B两点的坐标为（x1， y1）， （x2， y1），则y1+y2=■，y1y2=■.

以AB为直径的圆的方程为（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.

该圆经过原点∴ x1x2+y1y2=0.

x1x2=（4y1-4m）（4y2-4m）=16y1y2-16m（y1+y2）+16m2

∴ x1x2+y1y2=16y1y2-16m（y1+y2）+16m2+y1y2

=17y1y2-16m（y1+y2）+16m2=■-■+16m2=0，

解得m=±■.

經检验，所求l的方程为y=■x±■.

21. 解析：（1）依题意知函数定义域为（-1，+∞），f′（x）=2x+■=■，当m=-4时，令f′（x）=■<0，得：-2

故函数f（x）的单调减区间（-1， 1）.

（2）若函数f（x）有两个极值点x1、 x2，且x1

知0

■=■=2x2ln（x2+1）-■.

令？渍（x）=2xln（x+1）-■，x∈（-■，0），

∴ ？渍′（x）=2ln（x+1）+■，令g（x）=2ln（x+1）+■，

∴g′（x）=■=■，令h（x）=x2+3x+1.

又∵ x∈（-■， 0）， （x+1）3>0，h（x）在（-■， 0）单调递增且h（0）>0，h（-■）<0，

即存在x0∈（-■， 0）使得h（x0）=0即x∈（-■，x0），g′（x）<0，x∈（x0， 0），g′（x）>0，

g（x）在（-■， x0）单调递减，g（x）在（x0， 0）单调递增.

又g（0）=0，g（-■）<0，∴ x∈（-■，0），？渍′（x）<0，

∴ x∈（-■，0），？渍（x）在（-■，0）单调递减，又∵ ？渍（0）=0 ？渍（-■）=ln2-■，

故所求范围为（0， ln2-■）.

选做题：

22. 解析：（1）由点A（■， ■）在直线？籽cos（？兹-■）=a上，可得a=■.

所以直线l的方程可化为？籽cos？兹+？籽sin？兹=2，

从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.

（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，

所以圆心为（1， 0），半径r=1.

以为圆心到直线的距离d=■<1，所以直线与圆相交.

23 . 解析：（1）f（x）≤2x？圳  x+1≤2x？圳x+1≥0，x+1≤2x或x+1<0，-（x+1）≤2x？圳x≥1，

∴ f（x）≤2x的解集为{x│x≥1}.

（2）f（x）-x-2≥a？圳x+1-x-2≥a ∵x+1-x-2≤（x+1）-（x-2）=3，∴ a≤3.