含有两个随机变量的二维几何模型建构探讨

何双

[摘要]几何模型是高职数学的难点问题，几何概率模型构造的重点为如何使用测度。具有两个随机变量的二维几何模型为高职阶段中较为普遍的问题，利用练习直角三角坐标系，创建平面图像，将面积作为测度，能够使此问题得到解决。就高职数学几何模型建构开展探讨.供大家交流。

[關键词]随机变量;二维几何模型;高职教学

[中图分类号]0211.2

[文献标志码]A

[文章编号]2096-0603（2019）07-0138-02

几何模型属于高职数学中重要的概率模型，在高职命题中具有重要的地位。解决二维几何模型中的问题，重点就是寻找相应区域中的面积，之后通过几何模型概率公式实现计算。比如数形结合也是解决几何模型问题的主要策略。几何模型的主要特点就是实验结果无限性及每个实验结果出现等可能性。在随机实验中，假如具有两个随机变量，并且此随机变量在两个无限个值区域范围中取值，此种随机试验能够创建将测度作为面积的二维几何模型。二维几何模型问题中的知识点比较多，题目也较为灵活，一般都是根据二元一次不等式组寻找区域面积，使用几何化手段进行解决。

一、二维几何模型中的几何度量原则

（一）等可能性原则

在选择几何度量之后，单位尺度几何度量指的是相同的事件数。因为使用几何模型处理概率问题具备一定的等可能性特点，以此要求选择的几何度量都能够均匀的代表所考察的事情，也就是满足尺度均匀原则。

（二）主动性原则

因为使用特定几何量实现事件的有效模拟，在实际问题中对如何完成此件事情比较关心，一般将考察事件模拟成为某个明确具体过程，并且主动完成考察元素。比如，使点在线段中运动，点在平面中，使点在圆弧中运动，直线围绕顶点运动等，此种模拟及类比对题目的理解及解答是非常有利的。

二、两个随机变量的二维几何模型分析

（一）区间长度中的两个随机变量

此种题目较为简单，但是如何转变成为数学模型进行求解为解决此种问题的重点。

例1：在区间[-1，1]中任意选择两个实数，那么其和大于1的概率为（）

分析：任意选择的两个数的实验结果有无限个，出现基本事件为等可能，能够满足几何模型条件。所以，假设在[-1，1]中任意选择两个实数作为x.y，根据题意x+y≤1，寻找相应的区域，求得面积比就能够得到。

解题：假设在区间[-1，1]中任意选择两个实数x.y，使（x，y）作为平面中的点，实验中的所有结果创建区域{（x，y）}-1≤x≤1，-1≤y≤1，详见图1。其指的是边长为2的正方形，面积为2x2=4，其和小于1，并且{（x，y）x+y≤1}，其区域属于阴影部分，面积为4-0.5=3.5，所以概率为：构成事件A的区域面积/试验全部结构构成的区域面积=3.5/4=7/8。

例2：随机使长为1单位的线段划分成为三段，求得三段能够构成的三角形概率。

分析：根据题目的含义，假设随机得到的两段长度为x和y，三段为1-x-y，三段的长度要能够满足创建三角形条件。实验结果等可能性及无限性满足几何模型的条件需求。

解题：假设划分的两段分别为x和y，那么第三段就是1-x-y，要满足01-x-y，1-x>x，1-y>y的需求，其中的平面面积就是阴影的部分A，得到Sq=1/2*1*1=1/2，SA=1/2*1/2*1/2=1/8，那么P（A）=（1/8）/（1/2）=1/4。

以上两个问题看起来具有三个变量，但是能够将其转变成为两个变量。另外，还要注意相应区域中的面积不包含边界，但是不会对解决结果造成影响。

（二）和生活实际问题相互结合

例3：甲和乙两个人约定在六点到七点之间在某个地方会面，并且约定先到的人要等候另外一个人一刻钟，一刻钟过去之后就能够离去，求得两个人能够会面的几率。

分析：甲和乙两个人都是六点到七点中的任意一个时间段到达会面的地点，所以要引入到达时间x和y，也就是创建双变量几何模型。

解题：将x指的是甲到达约定地点的时间，y指的是乙到达约定地点的时间，那么0≤x≤60，0≤y≤60，在图3中的平面直角坐标系中的点（x，y）对应边长为60的正方形记做甲和乙两个人能够会面的事件A，那么满足|x-y|≤15的条件需求，点（x，y）所对应的就是图中的阴影部分，通过几何概率公式得到P=（603-452）160=7/16，那么甲和乙能够会面的概率就是7/16。

此种题目的难点就是使用两个时间分别表示x和y，创建平面中的点（x，y），以此能够将时间长度问题转变成为二维平面图形面积问题，结合二维几何模型就能够求解。

例4：甲和乙两个人约定在下午一点到两点之间到某个车站起乘坐公共汽车去逛街，在此时间段中的公共汽车班次一共有四班，发车的时间分别为一点十五分、一点三十分、一点四十五分和两点整，假如在规定时间上车，求两个人乘坐同一辆公共汽车的概率。

解答：假设甲和乙到达车站的时间分别是x和y，那么1≤x≤2，1≤y≤2，对平面S进行确定，详见图4中的正方形区域，假设事件A指的是同个人乘坐同一辆公共汽车，那么事件A中的充要条件就是两个人到达时间x和y都是在同个发车区间中，也就是图中的阴影部分，所以P=4/16=1/4。

（三）二维几何模型中的事件独立性

例5：假设实验E指的是抛甲和乙两枚硬币，对正反面的出现情况进行观察。如果A指的是甲硬币的出现H，事件B指的是乙硬币的出现H，那么E样本空间就是：02=（{HH，HT，TH，TT}

通过此可以看出来：P（A）=2/4=1/2

P（B）=2/4=1/2

P（A|B）=1/2

P（AB）=1/4

在整个过程中的P（A|B）为P（A），P（A B）为P（AB）=P（A）P（B），也就是事件B发生对于事件A并没有什么影响，此并不是偶然。通过题目含义可以看出来，甲硬币正面的出现情况和乙币出现正面的情况是没有什么影响的。

假设事件A和事件B，如果P（AB）=P（A）P（B），那么事件A和事件B是相互独立的。如果四对事件A和B，A和B，A和B，和中有一个是对立的，那么其他三对也是独立的。

证明：因为对称性，只要通过A和B独立导出另外三对独立就行，通过条件，得到：P（AB）=P（A）P（B）

所以：P（AB）=P（B-AB）=P（B）-P（AB）

=P（B）-P（A）P（B）

=P（B）[1-P（A）]

=P（B）P（A）

那么可以看出来，A和B都是相互独立的，以此也就表示A和B也是相互独立的。因为A=A，那么A和B相互独立。

在实际使用过程中，不能够使用定义对事件独立性进行证明，要以具体的问题情况，根据独立性实际意义进行判断。另外，独立性概念还能够应用到多事件中。

首先，对三个事件进行定义，A和B和C都具备独立性，如果以下公式同时成立，那么就表示A和B和C都是相互独立：P（AB）=P（A）P（B）

P（BC）=P（B）P?

P（AC）=P（A）P?

P（ABC）=P（A）P（B）P?

以事件独立性定义表示，前三项的等式成立，那么A和B、B和C，C和A都是相互成立的，也就是A和B和C都是两两独立。但是，两两独立也不能够保证都是相互独立。

（四）基于贝特朗问题

贝特朗问题指的是在单位圆的圆周中，任意选择两个点M和N联结成弦，事件A指的是弦长MN>V3，求解事件A的发生概率。

解题：此圆的周长为2π，在圆中任意取一个点，设置其位置为0，圆中的其他各个点位置根据顺时针方向在[0.2π）中增长。假设M和N在圆周中的位置分别为x和y，那么x.y∈[0.2π），详见图5。MN>V3当且仅当2/3 π<（x-y|<4/3 π，详见图6。使用（x，y）将实验结果表示出来，那么全部基本事件创建正方形区域，其中的阴影部分指的是事件A创建的区域，满足几何模型条件需求，所以：

本道题的解法就是基于题目原始条件，在圆周中选择两个点作为等可能事件，并且引入两个变量，以此将面积作为测度，使用几何模型理论得出答案，较为简单，并且不容易出错。

三解题规律

根据本文解法的规律，将具备两个随机变量二维几何模型问题的解题方法总结为：

其一创建变量。通过题意，对哪两个变量为随机，将其设置成为x和y;

其二，将不等式组列出。根据题意得到两个变量，从而使条件不等式得到满足;

其三，做出平面区域。做出上述不等式组的平面区域;

其四，对区域面积进行计算。以作出的平面区域，对相应区域面积进行计算;

其五，面积比值求解。以几何模型公式，得到两个面积的比值。

四、结语

几何模型就是结合几何问题及概率问题，对此种问题进行有效解决，重点就是全面理解题目意思，寻找变量和变量之间的内在关系，从而得到变量满足不等式组。之后利用不等式组中的平面区域得到需要的测度。其中.数形结合指的是对此种问题有效解决的主要思想方法。

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