“公共弦”的那些事儿

☉黑龙江省大庆市大庆实验中学 陈永志

苏教版高中数学《必修2》在“平面解析几何”一章中主要介绍了直线与圆的相关知识，这两部分内容都是高考考查的重点和热点，解析几何的本质就是运用代数方法来研究几何问题，所以此处必少不了相关的几何作图与代数运算，而学生往往由于作图能力与计算能力比较薄弱，从而害怕求解解析几何的题目.本文主要针对几道有关两圆相交时涉及的公共弦问题加以剖析，与大家共勉.

一、求公共弦方程

题目1已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2-2x-2y+1=0，试求两圆的公共弦所在的直线的方程.

思路分析1：因为两圆的公共弦由两圆相交时产生的两个交点确定，所以最直接的解法就是先求出两圆的交点坐标，然后再去求公共弦所在的直线方程.

解法1：将两圆的方程联立得，解得即两圆的交点为（0，1），（1，0），所以公共弦所在直线的斜率为k=-1.故公共弦所在的直线方程为y=-x+1.

思路分析2：如图1所示，不妨设两个公共点的坐标分别 为 A（x1，y1），B（x2，y2），所 以于是①-②可得x1+y1-1=0，这就说明点A（x1，y1）在直线x+y-1=0上.同理可得点B（x2，y2）也在直线x+y-1=0上，这样由点A（x1，y1），B（x2，y2）确定的直线方程就是x+y-1=0，即两圆的公共弦所在的直线方程.

解法2：将两圆的方程联立得，将两个方程相减，整理得x+y-1=0，所以圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程为x+y-1=0.

点评：很明显，在解法1中，由于需要解二元二次方程组，其计算量不言而喻，这也是大部分学生不希望遇到的，而解法2避开了解方程组，大大弱化了计算量，也为我们提供了一种便捷的求公共弦所……