局域共振二维声子晶体的低频带隙特性研究

梁孝东，缪林昌，尤 佺，厉 超，方黄磊，雷利剑

(东南大学交通学院，南京 211189)

1 引 言

随着我国城市化建设的快速发展，地铁的建设规模不断扩大，然而地铁运行所引发的低频环境振动问题也日趋严重，愈发影响人们的生产和生活[1-2]。研究表明，地铁运行引发的振动主要分布在200 Hz以下的低频范围，主要频段为40～80 Hz[3-7]，且该频段的振动对人体危害较大。

声子晶体是一种新型人工周期性功能材料，其具有弹性波传播带隙特性，对在带隙频率范围内弹性波的传播具有显著的抑制作用，这一特性使其能够实现对特定频段弹性波的衰减控制，因而声子晶体在减振降噪领域具有广阔的应用前景。1993年，Kushwaha等[8]首次提出了声子晶体的概念。目前认为声子晶体带隙的产生机理，主要有两种：一是Bragg散射机理；二是局域共振机理。2000年，Liu等[9]首次提出局域共振型声子晶体的概念，他在铅球外包裹硅橡胶，然后将其周期性地排列在环氧树脂基体中，制成一种三维声子晶体，突破了Bragg散射机理的限制，使用较小的结构尺寸便可得到低频带隙。最近十几年，局域共振型声子晶体由于其突出的低频带隙特性吸引了众多学者的研究。研究人员们相继提出杆状、梁状和板状等结构[10-15]，来研究其低频局域共振带隙特性。与此同时，研究人员们还对声子晶体的结构进行设计，以获得更低的带隙频率。吴九汇等[14]设计了一种含螺旋局域共振单元的声子晶体板结构，该结构能够在低频打开较宽的带隙，带隙起始频率低至42 Hz，然而该结构的制作较为困难。Gao等[16]研究了一种双共振单元结构，其可以在50 Hz以下的低频范围打开带隙。祁鹏山等[17]提出一种局域共振二维声子晶体模型，其研究结果表明多振子和非对称性有益于拓宽带隙，并能改善结构的隔声效果。综上分析，现有研究很少能在200 Hz以下的低频范围内，兼顾带隙的低频、宽带和强衰减特性，难以应用于地铁的减振隔振。

本文提出一种新型的局域共振二维声子晶体结构，借助有限元法对结构的低频局域共振带隙特性进行了系统的研究。首先，计算了无限周期声子晶体的能带结构，并结合振动模态研究了局域共振带隙的产生机理。其次，基于等效简化模型对带隙的影响因素进行了分析。最后，对结构进行优化设计打开了更宽的带隙，并通过数值仿真对有限周期声子晶体的低频带隙特性进行了验证。本文所提出的局域共振型声子晶体结构具有轻质、经济、低频、宽带等优点，在地铁的减振隔振中具有潜在的应用前景。

2 单元结构及计算方法

2.1 单元结构

新型局域共振二维声子晶体的单元结构如图1(a)所示。该单元结构中心对称，分为四个部分，其中A部分为水泥砂浆基体，B部分为发泡聚苯乙烯连接体，C部分为钢芯体，D部分为微腔。晶格常数为a；水泥砂浆基体边框的内边长为b，厚度为e；发泡聚苯乙烯连接体的边长为c；钢芯体的半径为r。钢芯体位于结构的中心，四个连接体尺寸相同且对称分布于基体边框内的四角，四个空心孔洞也对称分布于基体边框与钢芯体之间，整个结构严格对称。单元结构的几何参数和材料参数分别如表1、表2所示。

图1 (a)单元结构；(b)不可约Brillouin区(阴影部分)Fig.1 (a)Unit structure; (b)Irreducible Brillouin area (shaded part)

表1 几何参数Table 1 Geometric parameters

a/mmb/mmc/mme/mmr/mm40368216

表2 材料参数Table 2 Material parameters

2.2 计算方法

在线弹性、各向同性、无阻尼无源的无限大非均匀介质中，弹性波的控制方程为

▽·(C(r):▽u(r))+ρ(r)ω2u(r)=0

(1)

式中▽为矢量微分算符；r为位置矢量；u(r)为位移矢量；C(r)和ρ(r)分别为材料的弹性张量和密度张量；ω为弹性波的角频率。而对于各向同性非均匀介质，方程(1)可以简写为

ρü(r,t)=(λ+μ)▽▽·u(r,t)+μ▽2u(r,t)

(2)

式中ρ是密度；λ和μ是Lamé常数。取二维晶格平面为xOy平面，轴向为z方向。假设弹性波在xOy平面内传播，介质中的位移仅与x、y坐标有关，即u(r,t)=u(x,y,t)，则方程(3)可以解耦为XY模式和Z模式的波动方程，其中XY模式的波动方程为

ρ(r)üxy(r,t)=[λ(r)+μ(r)]▽▽·uxy(r,t)+μ(r)▽2uxy(r,t)

(3)

Z模式的波动方程为

(4)

对于二维声子晶体，根据波在周期结构中传播的Bloch定理，位移场u(r)可以表示成如下形式

u(r)=ei(k·r)uk(r)

(5)

其中uk(r)为与声子晶体具有相同周期性的矢量函数；k为第一Brillouin区(见图1(b))的波矢。单胞的外边界应满足如下条件

u(r+a)=ei(k·a)u(r)

(6)

其中a为晶格常数矢量。利用有限元软件求解波动方程时，由于声子晶体的周期性，计算可在一个单胞内进行。用有限单元划分网格后，单胞离散形式的特征值方程可写为

(K-ω2M)u=0

(7)

式中K为刚度矩阵；M为质量矩阵；u为单胞的位移矩阵。

结合边界条件(6)和特征值方程(7)，就可以在给定波矢k的情况下求解特征频率。求解时，只需要令波矢k沿着不可约Brillouin区(见图1(b)中阴影部分)的边界M-Γ-X-M进行扫描即可。

3 局域共振带隙特性及机理分析

图2 能带结构图Fig.2 Band gap structure diagram

图2为图1(a)结构的能带结构图，其中实线是XY模式的能带结构图，虚线是Z模式的能带结构图。XY模式时，该结构存在一个频率范围为39.77～133.43 Hz带隙，带宽为93.66 Hz；而Z模式时，存在一个频率范围为32.87～110.33 Hz的带隙，带宽为77.46 Hz。综合XY模式和Z模式的能带结构图，可以发现，在200 Hz以下的低频范围内，该结构打开一个频率范围39.77～110.33 Hz，带宽为70.56 Hz的完全带隙，如图中阴影部分所示。该结构在低频范围内打开的带隙，能够很好地覆盖地铁振动的主要频段。为了进一步说明该结构低频带隙的形成机理，选取第一Brillouin区的高对称点A1、A2、B、C1、C2、D和E，分析其对应的振动模态，如图3所示。

对于XY模式，带隙下边界的A1和A2点对应于钢芯体的平移振动模态(图3(a)和(b))，振动主要集中在钢芯体上。该振动模态下，钢芯体带动四角的发泡聚苯乙烯连接体作xOy平面内的平移运动，而基体边框趋于静止。钢芯体对基体边框存在xOy平面内的力，与基体边框中的长波行波相互耦合，从而导致了带隙的产生。B点则对应于钢芯体的扭转振动模态(图3(c))，此时钢芯体作扭转振动，而基体边框几乎不发生振动。该模态下钢芯体仅对基体边框产生扭矩作用，而没有xOy平面内力的作用，基体边框中的长波行波难以与钢芯体的振动相耦合，从而在48.34 Hz处产生一条贯穿完全带隙的平直带。带隙上边界的C1和C2点对应于系统的平移振动模态(图3(d)和(e))，钢芯体和基体边框在弹性连接下作反相位振动，主要是基体边框在xOy平面内作平移振动，而钢芯体的振动很小。此时，基体边框中长波行波与钢芯体振动的耦合作用很弱，带隙从而截止。

而对于Z模式，带隙下边界的D点对应于钢芯体在z方向(垂直纸面方向)的共振(图4(a))，而带隙上边界的E点则对应于基体边框在z方向的共振图(图4(b))。Z模式的带隙产生机理可参照XY模式进行类似的分析，此处不再赘述。此外，下文对于带隙影响因素和结构优化设计的分析也都基于XY模式。

图3 结构振动模态图(XY模式)Fig.3 Vibration mode diagrams of the structure(XY mode)

图4 结构振动模态图(Z模式)Fig.4 Vibration mode diagrams of the structure(Z mode)

图1(a)结构结构的第一带隙起始频率对应的简化模型如图5(a)所示，根据上述对带隙起始处A点振动模态的分析，振动过程中基体边框趋于静止，此时局域共振单元可等效为“质量-弹簧”单自由度系统。当振动以弹性波的形式传播到该单元结构时，会对基体边框产生力F的作用，而质量块m1(钢芯体)的运动同样对基体边框产生一个反作用力f，因此基体边框在外部作用力F和内部反作用力f的共同作用下振动。当外部作用力F和内部反作用力f的频率相同时，外部作用力就被内部反作用力所抵消，作用在基体边框上的合力趋于零，局域共振模态被激发，能量被局域共振单元吸收，使得弹性波被共振单元局域化而无法在基体中传播，从而形成带隙。局域共振带隙的起始频率由“质量-弹簧”系统的固有频率决定，可由式(8)估算：

(8)

式中，k为弹性连接体的等效刚度，m1为振子的等效质量。

第一带隙截止频率对应的简化模型如图5(b)所示，此时局域共振单元可等效为“质量-弹簧-质量”双自由度系统。带隙截止频率处，m1和m2在弹簧的连接下，形成反相位振动，弹簧上存在一个位置静止不动，即“静点”，带隙的截止频率可由式(9)估算：

(9)

式中，k为弹性连接体的等效刚度，m1为振子的等效质量，m2为基体的等效质量。

图5 具有局域共振带隙的声子晶体的简化模型Fig.5 A simplified model of phononic crystals with local resonance band gaps

4 带隙影响因素分析

由上述简化模型的分析可知，带隙的起止频率主要与振子的等效质量m1、基体的等效质量m2和弹性连接体的等效刚度k有关。为了进一步分析结构的带隙特性与材料参数和几何参数之间的关系，本文研究了芯体密度、基体密度、连接体弹性模量和连接体边长c变化时带隙的变化情况，如图6所示。

图6 带隙影响因素Fig.6 Influence factors of band gap

由图6(a)可知，随着芯体密度的增大，带隙的起始和截止频率均降低，但是截止频率的变化率较小，带隙宽度随之增大，所以带隙的起始频率与芯体密度紧密相关。该变化规律可用上述的等效简化模型公式来解释，根据式(8)，芯体密度增大，则振子的等效质量m1增大，而等效刚度k不变，所以系统的固有频率降低，带隙的起始频率随之降低；根据式(9)，振子的等效质量m1增大也会导致带隙的截止频率的降低，但变化率较小，所以带隙宽度会增大。

由图6(b)可知，随着基体边框密度的增大，带隙的起始频率保持不变，而截止频率降低，带隙宽度减小，所以带隙的截止频率与基体边框的密度相关。因为改变基体密度并不会引起系统固有频率的改变，所以带隙的起始频率保持不变；而根据式(9)，基体的等效质量m2的变化则会引起带隙截止频率的变化。

由图6(c)可以看到，随着连接体弹性模量的增大，带隙的起始和截止频率均升高，但截止频率的变化率大于起始频率的变化率，带隙宽度整体增大。分析可知，增大连接体的弹性模量，则简化模型中的等效刚度k增大，而等效质量不变，所以带隙的起始和截止频率均升高。此外，由式(8)和式(9)可计算得到带隙的宽度，见式(10)。根据式(10)可知，等效质量不变时，带隙宽度与等效刚度k呈正相关。

(10)

图6(d)则描述的是带隙与连接体边长c的变化关系，其变化规律与图6(c)相同。分析可知，增大连接体边长c即增加连接体的填充度，相当于增加了连接体的等效刚度k。其中当c=18 mm时，连接体填满微腔，结构即变为全连接结构，此时带隙的频率范围为116.73～391.51 Hz，虽然带隙宽度很大，但是带隙起始频率较高。

根据以上分析可知，等效刚度k一定的情况下，带隙起始频率由芯体的密度决定，截止频率主要由基体边框的密度决定，而等效刚度k具有放大带隙宽度的作用。因此，增大芯体的密度、减小基体边框的密度并增大连接体的弹性模量，可以使得带隙向低频范围移动并拓展带隙的宽度。

5 复合单元结构优化及传输特性

根据上文的分析，局域共振带隙是因为共振单元的局域共振模态与基体中的行波进行耦合而产生的。对于单质量块构成的结构单元，不论如何改变结构的材料和几何参数，都只对应一个平移振动模态和扭转振动模态的固有频率，也就只能打开一条局域共振带隙。为了拓宽带隙范围，本文对结构进行了优化，提出局域共振复合单元结构，即在基体边框内按2×2的排列方式对称布置4个芯体质量块，芯体之间以连接体相连，且仍与基体边框的四角相接，芯体的半径与图1(a)中相同，芯体、基体边框和连接体的材料参数也与图1(a)中保持一致。该局域共振复合单元结构的单元模型如图7(a)所示。

图7 复合单元结构及其能带结构(XY模式)Fig.7 Composite unit model and band gap structure(XY mode)

利用有限元软件同样计算了该复合结构XY模式的能带结构图，如图7(b)所示。可以看到，该结构在200 Hz以下的频率范围内打开了两条局域共振带隙，带隙范围分别为30.86～39.21 Hz和39.72～149.17 Hz，总的带隙宽度达到117.8 Hz，带隙范围内还出现了多条平直带。与原单元结构相比，优化后的复合单元结构的带隙起始频率降低了22.4%，且带隙宽度增大了25.8%。由上文分析可知，带隙内的平直带对应于质量块的扭转振动模态，质量块的数目增加，则对应的扭转振动模态也越多，所以带隙内出现多条平直带。但是多个扭转振动模态相互耦合也会产生消极作用，即在39.5 Hz附近出现分割完全带隙的窄通带。同时，该结构内质量块按2×2的方式排列，其在两个方向上是等效的，纵向与横向的局域共振模态趋于简并，使得系统固有频率降低，即带隙起始频率降低；而如果将该复合结构平均到每个质量块，其基体的等效质量要小于图1(a)中的结构，所以带隙截止频率升高，带隙总宽度增加。

此外，为了验证两种单元结构的低频局域共振带隙特性，利用有限元法计算了x方向具有10个周期单元的模型的频率响应函数。在有限元软件中，首先按照单元结构的参数在x方向上建立10个周期的模型，然后在模型的一端施加y方向的单位加速度激励，并使频率扫过0～200 Hz，在模型的另一端拾取相应的加速度响应，即可得到频率响应函数。频率响应函数的定义如下[18]：

(11)

图8 两种单元结构的频率响应函数(x方向10个周期)Fig.8 Frequency response functions of two types of unit structures (10 cycles in the x direction)

式中：X和X0分别为拾取端和激励端的加速度，T为频率响应函数值。

图8给出了两种单元结构的频率响应函数曲线，其中实线和虚线分别表示复合单元结构和初始单元结构的频率响应函数曲线。可以看到，两条频率响应函数曲线中均存在一个振动衰减区(阴影部分表示复合单元结构频率响应函数的振动衰减区)，其频率范围与图2和图7(b)的能带结构图吻合较好。对于复合单元结构，其频率响应函数曲线衰减区的起止频率处，分别出现共振峰P1和P3，而39 Hz附近出现的共振峰P2则对应于能带结构中的窄通带。通过比较可以发现，复合单元结构的平均振动衰减比初始单元结构多10 dB左右，即优化后的结构对振动波的衰减能力增强。

6 结 论

提出了一种新型局域共振二维声子晶体结构，采用有限元法计算其能带结构，对其带隙的形成机理和影响因素进行了详细的分析，并进一步对结构进行优化设计，得出以下结论：

(1)该结构可以在200 Hz以下的低频范围内打开宽度70.56 Hz的完全带隙，其带隙的起始频率低至39.77 Hz；

(2)带隙是由局域共振单元与基体中行波长波发生相互耦合作用而产生的，等效刚度k一定的情况下，带隙起始频率由芯体的密度决定，截止频率主要由基体边框的密度决定，而等效刚度k具有放大带隙宽度的作用；

(3)优化后的复合单元结构能够打开更低更宽的带隙，XY模式的起始频率进一步降低至30.86 Hz，与原始结构相比，起始频率降低了22.4%，且带隙宽度增大了25.8%，并且对振动波的衰减性能提升。

该结构具有优越的低频局域共振带隙特性，能够很好地覆盖地铁振动的主要频段，在地铁的减振隔振领域中具有潜在的应用前景。