从平面向量的角度认识数学问题2392

李伟健

(安徽省滁州中学 239000)

文[1]提出了一个涉及三点共线的命题，本文探讨的问题是：题设中的条件“点A、B、C、D在⊙O上”是否必要.首先选取平面向量的角度重新证明数学问题2392，在证明的过程中揭示条件“点A、B、C、D在⊙O上”是多余的.建立在这一判断基础之上，本文提出数学问题2392的修正命题.

数学问题2392如图1，若PAB、PCD分别是⊙O的两条割线，交⊙O于点A、B、C、D，AD与BC相交于点Q.若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.证明：P、M、N三点共线.

图1

证明因为P、C、D三点共线，

所以P、M、N三点共线.

通过上面的证明可以发现，数学问题2392中的条件“点A、B、C、D在⊙O上”与结论“P、M、N三点共线”无关，因此数学问题2392可以修正为如下命题，即：

数学问题2392修正命题如图2，已知平面内四点A、B、C、D任意三点不共线，且AD与BC相交于点Q.若点M、N分别满足四边形MAQC、四边形NBQD都是平行四边形.那么P、M、N三点共线.

图2

证明设直线AD与BC的无穷远点分别为E、F，根据帕普斯线，AB×CD=P、AF×CE=M、BE×DF=N三点共线.

从上述证明可以发现：考察数学问题2392的结构特征，本质是帕普斯线定理.

[1]数学问题解答.数学问题2392 [J].数学通报，2017,56(11)：封底.