测评与提升小学生数学素养的好问题及特征分析

◇刘加霞

数学“好问题（好活动）”是助推数学发展及学生数学学习的重要载体。好问题可以运用于课堂学习、课堂检测、单元验收、期末考试、毕业水平测试，乃至大规模的教育质量监测等，即：既可以运用于日常教学，也可以运用于阶段性的学习效果检测。日常学习质量检测是标准参照性质的测试，是绝对评价，其主要目的是检测学生达到既定学习目标的程度。在这种测验中，教师不需要刻意控制题目的难度和区分度，只要严格依照课程标准、教材和教学目标来编制题目即可，即使有的题目特别容易或特别难，也可以是好的题目。对于一线教师而言，自己编制好问题（活动）是一项重要的能力，储备好问题并根据教学目标选择恰当的题目用于教学和日常检测同样重要。

那么，测评与提升学生数学素养的好问题有哪些呢？为此，需要分析数学素养的内涵，需要广泛搜集日常教学、阶段性测评以及国内、国际大规模测评中的好问题，在此基础上提炼与总结数学好问题的特征与内容。

目前数学素养（思想）的内涵比较认可的是史宁中教授所言：“数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。”这一观点基本符合小学数学学习的目标，只不过在小学阶段是初级、初步要求，或初步渗透。

基于上述数学素养内涵的分析，依据义务教育阶段课程标准要求，再根据小学生认知特点及所学习的数学内容，好问题大致分为解决现实生活问题的题目、有助于学生探究与发现的题目、有助于学生动手与动脑设计与制作的题目以及渗透数学发展历程和数学文化的题目。

一、让学生关注真实情境下的现实问题，感悟数学无处不在

数学知识来源于生活又超越生活，小学阶段的数学主要以来源于生活为主，因此应关注如何运用数学解决实际问题，在解决实际问题中提升学生的数学素养，正如PISA测评目标所指出的：理解数学在现实世界（个体所处的自然、社会和文化背景）中的作用、能运用数学做出决策、能在个人生活（包括个人、同伴、亲属、社区、职业、社会的生活）和未来社会中使用和渗透数学。使用和渗透不仅指运用数学知识解决数学问题，还包括广泛的个体参与，如交流、评价甚至是欣赏和享受数学。小学阶段的数学好问题首先体现在解决实际问题方面，在解决实际问题过程中深入理解数学知识、技能，感悟数学思想与方法，体会数学无处不在。

题目1：小红听妈妈说家里的“房高”是2.6米，如图1，从窗台到房顶的距离是多少米？

图1

题目2：两个长方体的麦片盒（尺寸如图2所示）装满了麦片，小盒大约装了80克的麦片，大盒大约装了多少麦片？

图2

题目3：图3是某学校校门口的电子显示屏，每个“字格”大约是1平方米，估一估，算一算，整块电子显示屏的面积是多少？

图3

题目4：防撞灯一般安装在较高的建筑物顶端，通过间隔一段时间闪光的方式来提醒经过的飞机不要撞上高楼。一天晚上，小明正在观察高楼上的防撞灯，他首先看到了两盏防撞灯，他发现第一盏灯每4秒闪一次，第二盏灯每5秒闪一次。从两盏灯同时闪烁时开始计时，在1分钟内两盏灯同时闪几次？

接下来小明又看到了第三盏防撞灯，这盏灯每7秒闪一次，从这盏灯和上面两盏灯同时闪烁时开始计时，需要多长时间三盏灯才能再次同时闪烁？

题目5：图4与图5是用同一种型号铁丝制成的铁丝网，工人师傅说图4所示的铁丝网的质量约120克，请估一估，图5所示的铁丝网的质量约（ ）克。

①150 ②240 ③380 ④500

图4

图5

二、综合运用所学知识，激发学生探究与发现的乐趣

数学的内在魅力体现在数学探究之乐、数学理性之思、数学结构之美，虽然这些“内蕴”比较抽象，难以直观体验，但人的好奇心、好探究、好推理等特性，恰恰契合了数学的这些特征，因而学生在数学学习中可享受数学的探究与发现的乐趣，好问题可以从这方面来研制。下面部分题目改编自剑桥大学教育学院的NRICH项目。

题目6：在一张纸的正反面各打印一个百数表（如图6），两个表在纸的正反面的位置是一样的，即正面的1对应着反面的10，正面的100对应着反面的91。

你能猜出正面的58、23、19对应的是反面的哪些数吗？你发现了什么规律？

图6

题目7：有一株会分叉的植物（如图7）。第一周，它由一根枝干分成了两个分支，第二周，它的每个分支又分出了两个分支，这样一共分出了四个分支。之后的每一周，前一周每个分出的分支又会继续分出两个分支。

在第六周结束后，这一周新分出的分支都开出了一朵花，请问：一共有多少朵花？

图7

题目8：如图8所示，一共有四个小盒子，每个小盒子里都装有一个整数。将这四个小盒子放进一个装有整数的大盒子里，在大盒子内“旅游一趟”，每个小盒子里的数都乘大盒子里所装的数，然后打开取出小盒子，小盒子里的数就变为56、24、112、216。

请问：大盒子里的数可能是哪些？这些可能的数中最大的是多少？

你还能编一个类似的游戏吗？和同学玩一玩。

图8

题目9：有一个小矮人，他比我们普通人小得多，下面是他的一张照片（如图9）。你能猜出他有多高吗？

你能在身边找出一个高度为他两倍的物品吗？你能在身边找出一个高度为他一半的物品吗？

你估计一下，这个小矮人用手中的杯子向大杯子里装多少杯水，才能把大杯子装满？

图9

题目10：如图10所示，1块立方体积木可以做成一段楼梯，这段楼梯上去时需要爬一阶，下来时也需要爬一阶。

4块立方体积木也可以做成一段楼梯，这段楼梯上去时需要爬两阶，下来时也需要爬两阶，如图11。

图10

图11

如果按照这种摆法做成一段楼梯，而且这段楼梯上去时需要爬五阶，下来时也需要爬五阶，一共需要多少块积木？

画一画，搭一搭，按照这种摆法，用49块积木搭成一段楼梯，那么爬上这段楼梯需要爬几阶？

你也可以自己提出类似的问题并解决它。

三、数学设计与制作类问题

根据所学的数学知识，动手设计与制作一些作品，这样做非常有价值。一方面能够欣赏数学之美；另一方面学生在动手操作实物时，内在思维外显化、直观化，从而深化对数学概念的理解，更有助于同伴、师生之间的交流和分享。

题目11：学校手工课上串珠子做项链，小红和小兰准备在学校的跳蚤市场上卖她们亲手制作的项链。她们编制的每条项链有8颗珠子，4颗红珠（即下图中的黑珠）和4 颗黄珠（即下图中的白珠），同时每条项链上的8 颗珠子还是对称的，如图12。

图12

小红和小兰一共可以做几种款式不同的项链呢？你能想出每种项链的样子吗？画一画。

如果有 9 颗珠子（5 颗红珠和 4 颗黄珠），会有多少种不同的款式呢？

如果有10 颗珠子（红珠和黄珠各5 颗），又会有多少种不同的款式呢？

题目12：王亮和刘东正在用小方块拼小纸条。王亮用两个蓝色小方块（即下图中的深色小方块）拼成一张蓝色小纸条，刘东用三个红色小方块（即下图中的浅色小方块）拼成一张红色小纸条。两个人都做了很多张这样的小纸条（如图13）。

图13

王亮把自己做的小纸条首尾相接排成一行，拼成了一张长长的纸条。刘东也在王亮的纸条下面，用自己的小纸条首尾相接拼成了一张长长的纸条。请问：他们能不能拼出两条相同长度的纸条呢？

在拼成相同长度的纸条时王亮用了几张小纸条？刘东又用了几张小纸条呢？这时这两条长度相同的纸条各有多少个小方块？除了这个长度，还有没有别的可能呢？

请你画一画（摆一摆），也可以列算式，写出你的思考过程。

题目13：小梅将一张纸对折并剪下了如图14所示的图形，展开剪下的图形，请在下面的方格图中大致画出这个展开图。

图14

题目14：小红和爷爷一起在圆形街心花园散步锻炼身体。小红走完一圈需要6 分钟，爷爷走完一圈需要8 分钟，如果两人同时、从同地出发，相背而行，走了12 分钟时两人的位置是下面的哪幅图？

题目15：如图15所示，将表盘上的指针取下，并将 12 改为 0。将每个数对应的点作为一个端点依次相连，构成一个十二边形。

图15

如果将2 的倍数对应的点作为端点依次相连，会构成一个什么样的图形呢？

你还可以试试将 3 的倍数和 5 的倍数对应的点作为端点依次相连，你有什么发现呢？

题目16：（1）在下面的方格纸（如图16，1 个方格代表1cm2）上，用线段AB 做底，画一个面积为12cm2的三角形ABC。

图16

（2）仍用线段AB 做底，画一个三角形ABD，使它的面积也是12cm2。面积是12cm2的三角形能画多少个？

（3）请你设计一幅由6 个面积是12cm2的三角形构成的美丽图案，可以涂上不同颜色使图案更加美观。

四、各国古老文化中的有趣问题

各个国家古老文明中都孕育着灿烂的数学问题与数学文化，如古代埃及的“纸草书”、古代中国的《九章算术》、古代希腊的《原本》等。从古老文明中选择有价值的“故事”，将故事编写为数学问题，也是编制好问题的重要渠道。一线教师可以了解、学习一些数学史、民族文化史，从中汲取数学问题的营养。教材中也有丰富的数学史料，可以改编为学生学习数学的问题，如苏教版教材三年级下册“两位数乘两位数”单元在“你知道吗” 栏目里，介绍了我国进行乘法计算的“铺地锦”法，对此也可以改编为好问题。

题目17：古代埃及人的绳子：

古代埃及人喜欢在绳子上打结，且两个结之间的距离都是相等的。

现在有一根有13 个结的绳子，可以将它折成一个直角三角形，如图17所示。

图17

如果你有一条这样的绳子，你会将它折成什么样的三角形？你能否将它折出其他形状的图形？

题目18：我国明朝时期的《算法统宗》里讲述了一种“铺地锦”的乘法计算方法，例如计算62×37，方法如下：

图18

你读懂这种方法了吗？试一试完成以下任务。

（1）下面是计算 23×14 的铺地锦方法，请你在（ ）中填写适当的数。

（2）下面是计算 78×45 的铺地锦方法，请你在（ ）中填写适当的数。

（3）请你评价一下：乘法的铺地锦方法，与你熟悉的竖式方法有什么共同之处？各自的优点是什么？

题目19：古代埃及人用“象形符号”表示数，例如，1～9、10、100、1000、10000 等的符号如图19。

图19

要想表示2344，用下面的符号组合而成，如图20。

图20

古代中国人用算筹表示数，如图21。

图21

6728 用下面的算筹表示：

6708 则表示为：

不同国家表示数的方法很有趣吧！ 我们也学古人来表示数。

（1）用古代埃及人的方法表示24563，请你画图表示出来。

（2）用古代中国人的方法也表示 24563，请你画图表示出来。

（3）古代中国人怎么表示24506897？古代埃及人怎么表示呢？请你画一画。

（4）你怎么评价古代埃及人、古代中国人表示数的方法。

综上所述，不难看出，小学阶段数学好题、趣题无处不在，好的数学问题既能驱动学生数学能力的发展，也有助于提高学生学习数学的兴趣，有助于培养学生深层次的数学思维。

好问题除了要有好内容，教学实践中还应该关注问题的作答方式。数学问题的作答方式主要有两类：一是选择式反应； 二是建构式反应。在日常教学中选择建构式反应，让学生充分表达问题解决过程中的每一步并陈述理由，评价与反思不同观点的同与异。选择建构式反应，可以让一个问题承载更多的价值，但作答时间较长，评价的标准也不太好统一，影响调研的信度，但在日常教学中使用它的根本目的是“促进学生的学习”而不是“评定等级”，所以不用过于考虑其信度和效度的问题。同样的问题，在大规模测试中可以用选择式反应，常见的是以“选择题”方式给出，也可以用“简答题”或“解答题”等建构式方式给出。