对《贝叶斯统计》课程中两个定理的教学研究

钟华 范乐乐

摘要：本文中，对《贝叶斯统计》课程中的两个重要定理中的结论等式进行了进一步的研究。首先采用高等数学中的微分求导以及级数变换等方式，从理论上详细证明了这两个定理中的结论等式，然后简单介绍了通过R软件，使用随机蒙特卡罗代入的方法对定理进行数值验证的一般步骤。通过对定理的进一步研究，有利于加强课程的教学效果与教学深度，使学生能得到综合知识与能力的提升。

关键词：贝叶斯统计;微分求导;级数变换;蒙特卡罗代入

一、两个定理的理论证明方法

在《贝叶斯统计》课程中的“贝叶斯决策”这部分内容的教学中，为了计算贝塔分布下二行动线性决策问题的先验EVPI，需要用到如下的定理1，定理1反映了贝塔分布这个连续型的分布与离散型的二项分布之间的联系。而在本人授课所使用的教材中，只给出了这个定理的结论，并没有给出其完整明确的证明过程。下面，本人将采用与文献中类似的研究方法，给出定理1的一种证明方法。

定理1.当α与β皆为正整数时，用在贝塔分布Be（α，β）下计算事件{θ≤θ}的概率可以转化为用二项分布计算，具体公式如下：

在课程后续的教学中，紧接着又出现了一个与定理I类似的定理，如定理2

定理2同样反映了伽玛分布这个连续型的分布与离散型的泊松分布之间的内在联系。定理2与定理I很明显属于同一种类型，教材中仍然没有给出具体的证明过程。下面，本人采用与定理I类似的证明方法，给出定理2的一种证明。

二、两个定理的数值验证方法

在定理1和定理2的教学中，也可以理论教学结合实验教学，要求学生利用R软件编写相应的R程序，对定理进行数值验证，从而加强对定理的认识，使学生更容易接受知识。具体方法如下。

第一步，任意取定一个θ∈（0，1），先代入定理1或者定理2中的等式的左边，计算出左边对应的值;第二步，把取定的θ代入等式右边，得到等式右边对应的值;第三步，比较等式左边与右边的值，如果两端的值相等，说明等式在取定的θ这点处是成立的;第四步，运用随机蒙特卡罗方法，随机选取至少1000个这样的θ，验证在这些θ处等式是否成立。

通过R软件强大的计算能力，学生验证了在对任意选取的至少1000个θ∈（0，1），两个定理中的等式都成立，可以說，基本上通过数值模拟，验证了定理中的等式对任意的θ∈（0，1）都应该是成立的。

三、结语

综合文中两个定理的证明，可以看出证明方法还是比较简单的，只用到了高等数学中的微分求导以及级数变换等方面的内容，理论教学讲解中也便于学生接受，再结合数值验证，可进一步加深学生对定理的认识、记忆和应用。另外，也希望能给其他从事《贝叶斯统计》课程教学的教师给予一定的帮助。

参考文献

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作者简介

钟华（1980-），男，副教授，主要从事概率论与数理统计方面的研究。

基金项目：河池学院2015年硕士专业学位建设基金课题（编号：2015YTB004）。