高中函数值域常见的求解方法

田黎

摘 要：函数在高中阶段占有十分重要的地位，作为函数三要素之一的值域的重要性不言而喻.此外，值域（最值）的求解是函数的重难点，常在高考中出现，因此，掌握函数值域（最值）的求解方法是很有必要的，本文结合具体例子对函数值域（最值）的求解方法进行归纳.

关键词：函数值域;求解方法

一、观察法

对函数的解析式进行观察，进而求出函数的值域

适用函数类型：比较简单的函数

例1求函数y=-2的值域

解：∵≥0

∴-2≥-2

∴函数y=-2的值域为[-2，+∞）

例2.求函数y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域

解：∵-1≤x≤1

∴结合函数图象可得，y=2x2+3（-1≤x≤1）的值域为[3，5]

二、配方法

将式子或式子的某一部分化为完全平方式或几个完全平方式之和.

适用函数类型：二次函数及能转化为二次函数的函数

例3：求函数y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域

∴结合函数图象可得：y=x2-2x+3（0≤x≤3）的值域为[2，6]

例4求函数的值域

解：∵-x2+4x+5≥0，即-1≤x≤5

∴函数的定义域为[-1，5]

又∵=

∴结合函数图象可得，函数的值域为[3，6]

三、换元法

对于解析式中合有根式或三角函数模型的函数，可以通过换元法将原函数转化为简单函数，当根式里是一次式时，用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.换元过程中，要注意中间变量的取值范围.

适用函数类型：能通过换元将含有根式或三角函数公式模型的函数转化为简单函数的函数

例5求函数的值域

解：令，则t≥0且x=t2+1

∴

结合函数图象可得：函数的值域为

例6求函数的值域

解：∵1-（x+1）2≥0，即（x+1）2≤1，且-1≤x+1≤1

∴令.

∴函数的值域为

四、分离常数法

将常数和变量分离

适用函数类型：分子、分母是一次函数的有理分式，（a、b、c、d为常数，且a≠0），或分子、分母中有相似的项的函数.

例7：求函数的值域

∴x≠3

∴y≠2

∴函数的值域为（-∞，2）U（2，+∞）

例8求函數的值域

解：∵∴令

则

∴函数的值域为[-，1）

五、反函数法

利用反函数的定义域就是原函数的值域来求解函数值域

适用函数类型：分子、分母是一次函数的有理分式.a.b.c.d为常数，且ac≠0）的函数

例9求函数的值域

解：∵反解得即反函数为（x≠2）

∵反函数的定义域即为原函数的值域

∴的值域为（-∞，2）U（2，+∞）

六、判别式法

将函数转化为关于x的二次方程f（x，y）=0，函数的定义域是R，通过方程有实数根，判别式△≥0得到原函数的值域，注意讨论二次项系数是否为0的情况.

适用函数类型：形如为常数，且a1，a2不同时为零）的函数.

例10求函数的值域①

解：∵

∴（y-1）x2+（1-y）x+y=0

当y=1时，原方程化为1=0，故y≠1

当y≠1时，△=（1-y）2-4y（y-1）≥0，即-

又∵y≠1

∴函数的值域为[-，1）

七、单调性法

利用函数在定义域上的单调性求出函数的值域

适用函数类型：复合函数

例11求函数的值域

解：令U（x）=4x-x2=-（x-2）2+4

∵U（x）>0，即-（x-2）2+4>0，得0

∴结合U（x）的图象可得，U（x）∈（0，4]

∴结合函数图象可得，函数的值域为[-2，+∞）

八、有界性法

利用函数的有界性求解值域

适用函数类型：三角函数型函数，利用sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]求解值域.

例12求函数的值域

解：∵

∴

（*）

∵=1

∴令

则上式（*）为

∵x∈R

∴

∴-1≤1，即

∴函数的值域为

不等式法（均值不等式法）

利用（a>0，b>0，c>0）解题.注意利用均值不等式求最值的三个条件限制，即“一正，二定，三相等”.

适用函数类型：函数解析式为“和式”时积为定值，函数解析式为“积式”时和为定值的函数，注意，有时需运用拆项，添项，两边平方等技巧.

例13当x>0时，求函数f（x）=8x+的值域②

解：

当且仅当4x=，即x=1时取“=”

∴函数f（x）=8x+的值域为[12，+∞）

参考文献

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007

[2]赵思林.初等代数研究[M].北京：科学出版社，2017.

[3]包永梅.例谈函数值域的几种解法[J].中国校外教育，2010（09）：46

[4]贾珊珊.探究高中数学函数的值域及求解方法.数学学习与研究，2016（05）