次线性g-期望的性质及其应用

纪荣林，周津名

(1. 安徽大学数学科学学院，安徽 合肥 230601；2. 合肥师范学院数学与统计学院，安徽 合肥 230601)

为了克服金融风险度量方法VaR的先天性缺陷，Artzner-Delbaen-Eber-Heath[1-2]首次通过公理化假设的方法开创性地引入了一致性风险度量的概念。Detlefsen-Scandolo[3]将公理化的风险度量理论发展到条件风险度量框架下, 进而引入了动态风险度量的概念并研究了动态风险度量的时间相容性条件的等价刻画问题。关于动态风险度量的相关研究请参阅文献[4-8]等。山东大学彭实戈院士获得了非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性结果[9], 进而通过非线性倒向随机微分方程的解引入了g-期望和条件g-期望的概念[10]。Rosazza Gianin[11]建立了g-期望理论与公理化的风险度量理论之间的关联, 通过 g-期望理论诱导出一类时间相容的动态风险度量。进一步地, 在倒向随机微分方程生成元满足基本假设的前提下, Jiang[12]系统性地建立了g-期望所诱导的(动态)风险度量与生成元函数之间的对应关系。

需要指出的是, Jiang[12]中关于动态一致性风险度量的相关公理化假设与 Detlefsen-Scandolo[3]是不一致的。由此, 一个自然的问题是: 在g-期望的框架下, 关于动态一致性风险度量的这两种定义方式是否是一致的?在倒向随机微分方程生成元满足基本假设条件的前提下, 本文致力于研究 g-期望的次线性性与生成元函数之间的一一对应关系, 进而在g-期望框架下证明关于动态一致性风险度量的这两种定义方式是等价的; 进一步地, 研究次线性g-期望与其所诱导的时间相容的动态一致性风险度量之间的内在联系。

1 预备知识

设T是一个给定的正实数，(Bt)t≥0是概率空间(Ω,F,P)上的d-维标准布朗运动，(Ft)t≥0是由该布朗运动生成的完备的σ域流。对每一个正整数n，记|·|为Rn中 Euclid 范数；对任意的z1,z2∈Rn，记z1·z2为向量z1与z2的内积；记L2(Ω,Ft,P)为Ft-可测且平方可积的随机变量全体; 记L∞(Ω,Ft,P)为Ft-可测且本性有界的随机变量全体。

考虑如下形式的一维倒向随机微分方程：

若生成元函数g:[0,T]×Ω×R×Rd→R满足下述假设条件 (A1) 和 (A2)：

(A1) (Lipschitz条件) 存在常数K≥0,使得

dP×dt-a.s., ∀(y1,z1),(y2,z2)∈R×Rd,

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤K(|y1-y2|+|z1-z2|)

(A3) dP×dt-a.s., ∀y∈R,g(t,y,0)≡0。

对任意的ξ∈L2(Ω,FT,P), 由Pardoux-Peng[9]知, 上述倒向随机微分方程存在唯一一对平方可积的适应解, 记为(Yt(g,T,ξ),Zt(g,T,ξ))t∈[0,T]。 进一步地, 若生成元函数g还满足假设条件(A3), Peng[10]用Eg[ξ]表示Y0(g,T,ξ)，称Eg[ξ]为ξ的 g-期望；用Eg[ξ|Ft]表示Yt(g,T,ξ)，并称Eg[ξ|Ft]为ξ关于Ft的条件 g-期望。

接下来, 我们引入本文的重要的引理, 下述引理分别来自文献[12]中的定理3.3和定理3.4。

引理1设生成元 g 满足 (A1) 和 (A3), 则以下陈述等价：

(i)g独立于y且关于z是次可加的, 即

dP×dt-a.s.,∀z1,z2∈Rd,g(t,z1+z2)≤g(t,z1)+g(t,z2)

(ii)Eg[X+Y]≤Eg[X]+Eg[Y],∀X,Y∈L2(Ω,FT,P)。

(iii) 对任意的t∈[0,T],X,Y∈L2(Ω,FT,P), 有

Eg[X+Y|Ft]≤Eg[X|Ft]+Eg[Y|Ft],P-a.s.

引理2设生成元 g 满足 (A1) 和 (A3)，则以下陈述等价：

(i) dP×dt-a.s., ∀(y,z)∈R×Rd,α≥0,g(t,αy,αz)=αg(t,y,z)。

(ii)Eg[αX]=αEg[X],∀X∈L2(Ω,FT,P),α≥0。

(iii) 对任意的t∈[0,T],X∈L2(Ω,FT,P),α≥0,有

Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft],P-a.s.

为方便读者起见, 我们回顾文献[3]中动态一致性风险度量的公理化定义, 如下:

定义1称(ρs,t)0≤s≤t≤T为动态一致性风险度量，若对任意的0≤s≤t≤T，ρs,t(·):L∞(Ω,Ft,P)→L∞(Ω,Fs,P)为条件一致性风险度量，即对任意的X,Y∈L∞(Ω,Ft,P)，ρs,t在P-a.s. 意义下满足下述性质：

(i) 单调性: 若 X≥Y, 则ρs,t(X)≤ρs,t(Y).

(ii) 平移不变性: 对任意的Y∈L∞(Ω,Fs,P), 有ρs,t(X+Y)=ρs,t(X)-Y.

(iii) 次可加性:ρs,t(X+Y)≤ρs,t(X)+ρs,t(Y).

(iv) 条件正齐次性: 对任意的α∈L∞(Ω,Fs,P),α≥0,有ρs,t(αX)=αρs,t(X).

进一步地, 若对任意的 r∈[s,t]，X∈L∞(Ω,Ft,P)， 恒有ρs,t(X)=ρs,r(-ρr,t(X)), 则称(ρs,t)0≤s≤t≤T为时间相容的动态一致性风险度量。

2 主要结果

定理1设生成元g满足 (A1) 和 (A3)，则以下陈述等价：

(i)dP×dt-a.s., ∀(y,z)∈R×Rd,α≥0,g(t,αy,αz)=αg(t,y,z).

(ii)Eg[·] 满足正齐次性, 即Eg[αX]=αEg[X],∀X∈L∞(Ω,FT,P),α≥0.

(iii)Eg[·|Ft]满足条件正齐次性,即对任意的t∈[0,T],X∈L∞(Ω,FT,P),α∈L∞(Ω,Ft,P),α≥0, 有Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft],P-a.s.

证明(iii)⟹(ii)是显然的。下证(i)⟹(iii)。首先，考虑参数α是简单函数时的情形，即

故对任意的 (y,z)∈R×Rd，

1Aig(t,y,z)=g(t,1Aiy,1Aiz),i=1,2,,N

从而对每一个i, 有

故

Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft],P-a.s.

接下来, 考虑一般情形下的参数α。 对任意的α∈L∞(Ω,Ft,P),α≥0, 选取L∞(Ω,Ft,P)中收敛于α的简单函数列 {αi}, 其中对每一个i,αi∈L∞(Ω,Ft,P),αi≥0。由倒向随机微分方程解的连续依赖性 (参阅文献[10]) 知

EP[|Eg[αiX|Ft]-Eg[αX|Ft]|2]≤CT,KEP[|(αi-α)X|2]→0

其中，CT,K为仅依赖于T,K的非负常数。故对任意的

t∈[0,T]，X∈L∞(Ω,FT,P)，α∈L∞(Ω,Ft,P)，α≥0

有

Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft],P-a.s.

接下来, 证明(ii)⟹(i)成立。 假设(ii)成立，即对任意的X∈L∞(Ω,FT,P)，α≥0，恒有Eg[αX]=αEg[X]。

对任意的ξ∈L2(Ω,FT,P), 令ξn=ξ1|ξ|≤n, 则ξn∈L∞(Ω,FT,P)且在L2意义下有ξn→ξ。 由倒向随机微分方程解的连续依赖性可得

Eg[αξn]→Eg[αξ]，αEg[ξn]→αEg[ξ]

从而有

Eg[αX]=αEg[X],∀X∈L2(Ω,FT,P),α≥0

由引理 2 立得(ii)⟹(i)成立。证毕。

定理2设生成元g满足 (A1) 和 (A3)，则以下陈述等价：

(i)dP×dt-a.s., ∀z1,z2∈Rd,g(t,z1+z2)≤g(t,z1)+g(t,z2).

(ii)Eg[X+Y]≤Eg[X]+Eg[Y],∀X,Y∈L∞(Ω,FT,P).

(iii)对任意的t∈[0,T],X,Y∈L∞(Ω,FT,P), 有

Eg[X+Y|Ft]≤Eg[X|Ft]+Eg[Y|Ft],P-a.s.

证明(iii)⟹(ii)是显然的。由引理1知(i)⟹(iii)成立。下证(ii)⟹(i)。假设(ii)成立, 即对任意的X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，恒有

Eg[X+Y]≤Eg[X]+Eg[Y]

对任意的ξ,η∈L2(Ω,FT,P),令ξn=ξ1|ξ|≤n，ηn=η1|η|≤n，则ξn,ηn∈L∞(Ω,FT,P)且在L2意义下有ξn→ξ,ηn→η。由倒向随机微分方程解的连续依赖性可得

Eg[ξn+ηn]→Eg[ξ+η],Eg[ξn]→Eg[ξ],Eg[ηn]→Eg[η]

故

Eg[ξ+η]≤Eg[ξ]+Eg[η],∀ξ,η∈L2(Ω,FT,P)

由引理 1 立得(ii)⟹(i)成立。证毕。

结合定理1和 引理2立得下述命题, 从而说明在g-期望的框架下,Jiang[12]中动态一致性风险度量的公理化体系中的正齐次性假设与 Detlefsen-Scandolo[3]中的条件正齐次性假设是完全一致的。

命题1设生成元g满足 (A1) 和 (A3), 则以下陈述等价:

(i) 对任意的t∈[0,T],X∈L2(Ω,FT,P),α≥0,有

Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft],P-a.s.

(ii) 对任意的t∈[0,T],X∈L∞(Ω,FT,P),α∈L∞(Ω,Ft,P),α≥0,有

Eg[αX|Ft]=αEg[X|Ft]

接下来, 探讨g-期望诱导的时间相容的动态一致性风险度量与g-期望的次线性性之间的对应关系。

定理3设生成元g满足 (A1) 和 (A3)。对任意的 0≤s≤t≤T， 令

ρs,t(X)=Eg[-X|Fs],X∈L∞(Ω,Ft,P)

则以下陈述等价：

(i)Eg[·]是次线性g-期望。

(ii) (ρs,t)0≤s≤t≤T是时间相容的动态一致性风险度量。

证明首先，我们证明 (i)⟹(ii)成立。对任意的 0≤s≤t≤T，由引理1-2 知生成元函数g独立于y且关于z是次线性的。应用定理1-2并结合倒向随机微分方程解的存在唯一性、比较定理及g-期望的相容性, 易验证Eg[·|Fs]在P-a.s. 意义下满足下述性质：

(a)Eg[X+Y|Fs]=Eg[X|Fs]+Y,∀Y∈L∞(Ω,Fs,P),

(b) 若 X≥Y, 则Eg[X|Fs]≥Eg[Y|Fs],

(c)Eg[X+Y|Fs]≤Eg[X|Fs]+Eg[Y|Fs],

(d)Eg[αX|Fs]=αEg[X|Fs]，∀α∈L∞(Ω,Fs,P),α≥0,

(e)Eg[Eg[X|Fr]|Fs]=Eg[X|Fr∧s]，∀r∈[0,T].

注意到ρs,t(X)=Eg[-X|Fs],X∈L∞(Ω,Ft,P)，结合性质 (a)-(d) 可知ρs,t为条件一致性风险度量。 进一步地，由时间参数s,t选取的任意性知， (ρs,t)0≤s≤t≤T是动态一致性风险度量，从而由性质 (e) 及定义 1立得 (ρs,t)0≤s≤t≤T是时间相容的动态一致性风险度量。

接下来, 我们证明(ii)⟹(i)成立。事实上，由(ρs,t)0≤s≤t≤T是动态一致性风险度量知，对任意的t∈[0,T]，ρt,T为条件一致性风险度量。 特别地，ρ0,T为一致性风险度量，从而由一致性风险度量的公理化定义知，对任意的α≥0,X,Y∈L∞(Ω,FT,P)，有

ρ0,T(X+Y)≤ρ0,T(X)+ρ0,T(Y)，ρ0,T(αX)=αρ0,T(X)

结合

ρ0,T(X)=Eg[-X|F0]=Eg[-X], ∀X∈L∞(Ω,FT,P)

得

Eg[(-X)+(-Y)]≤Eg[-X]+Eg[-Y], ∀X,Y∈L∞(Ω,FT,P),

Eg[α(-X)]≤αEg[-X], ∀X,Y∈L∞(Ω,FT,P),α≥0

由定理 1-2 及引理 1-2 立得Eg[·]是次线性g-期望。证毕。