常微分方程教学与MATLAB 的有效结合

布仁满都拉

（赤峰学院数学与计算机科学学院，赤峰024000）

0 引言

在物理、化学、金融和医学等很多领域中经常建立数学模型研究相关问题，其中常微分方程是经常遇到的微分方程。因此，常微分方程是理科、工科和文科的很多专业的必修课。结合常微分方程和MATLAB 解算的教学方法比传统的理论讲授教法，更能提高学生的学习兴趣和知识的混合应用能力，下面用实例介绍常微分方程和MATLAB 的结合用法。

1 常微分方程的解析解和MATLAB解算

1.1 常微分方程的解析解

求方程y''-6y'+9y=4e3x通解。

解：我们先理论上算出方程组的解析解，然后给出它的MATLAB 解算。先求齐次方程的通解，特征方程为：

特征根为：

λ1,2=3

因此，齐次方程的通解为：

y=C1e3x+C2xe3x

由于3 是二重特征根，非齐次方程有形如：

y*=Ax2e3x

的特解。将它代入非齐次方程，比较x 的同次幂系数，得A=2，所以：

y*=2x2e3x

所求通解为：

y=2x2e3x+C1e3x+C2xe3x

1.2 MATLAB解算

下面用MATLAB 符号法求微分方程的解。

键入：

y=dsolve('D2y-6*Dy+9*y=4*exp(3*x)'，'x')

回车得出：

y=2*x^2*exp(3*x)+C5*exp(3*x)+C6*x*exp(3*x)

2 常微分方程组的解析解和MATLAB解算

2.1 常微分方程组的解析解

求解方程组

解：我们先理论上算出方程组的解析解，然后给出它的MATLAB 解算。

系数矩阵为：

特征方程为：

特征根为：λ1=3，λ1=2，λ1=1。

先求λ1=3 对应的特征向量：

a，b，c 满足方程组：

即：

可得a=c，b=0，取一组非零解，例如令c=1，就有a=1，即：

下面求λ2=2 对应的特征向量：

a，b，c 满足方程组：

即：

可得a=c，b=c，取一组非零解，例如令c=1，就有a=1，b=1，即：

最后求λ3=1对应的特征向量：

a，b，c 满足方程组：

即：

可得a=0，b=c，取一组非零解，例如令c=1，就有b=1，即：

故方程组的通解是：

2.2 MATLAB解算

下面用MATLAB 符号求上述方程组的解析解：

键入：

回车得出：

3 常微分方程初值问题数值解及MATLAB解算

3.1 常微分方程初值问题数值解

在很多问题中遇到的常微分方程的解析解是很难算出来的，这时，我们可以用数值方法求近似解。

求解2y'+4xy=1，y(0)=0。

解：先用分离变量法和常数变易试算齐次方程的通解：

2y'+4xy=0

分离变量，得：

两端积分，得：

解出y，得：

y=Ce-x2

由常数变易法，令：

y=C(x)e-x2

为非齐次方程的解，代入后得：

由于ex2的原函数不是初等函数，积分：

的计算无法进行。

3.2 MATLAB解算

下面用MATLAB 求该微分方程的数值解。

先建立如下M-函数文件

function y1=CDE(x，y)

y1=0.5-2*x*y;

在指令窗口中键入：

[x，y]=ode23(@CDE，[0 3]，[0])

回车得出：

键入：

回车得出：

因此，在区间[0,3]上把x 分成了21 节点，对应地得出y 的21 个取值，即得到了微分方程的数值解。

进一步，键入：

plot(x，y)

回车画出数值解的图形，见图1。

图1 数值解的图形