绝对值的“奥秘”

文 俞琴贤

“绝对值”是初中数学中的一个重要概念，是比较有理数大小和进行有理数运算的基础。求绝对值是解与绝对值相关问题的关键，也是大多数同学的学习难点。求绝对值的“秘诀”有哪些呢？我们一起来了解。

一、直接求绝对值

例 1已知 3＜x＜5，化简代数式

【解析】结合已知条件，先判断每一个绝对值符号里的数是正数还是负数或0，再根据求一个数的绝对值的方法去掉绝对值符号。

解：因为当3＜x＜5时，x-3＞0，x-5＜0，所以︱x-3︱+︱x-5︱=（x-3）-（x-5）=2。

二、分类讨论求绝对值

当已知条件中，无法判断绝对值符号里式子的正负性时，要用分类讨论。

1.绝对值中涉及多个字母时，要考虑各个字母取值的所有情形。

例2求式子的值。

【解析】根据a、b符号的所有可能情况，去掉绝对值符号是解答本题的关键。

解：由题意知，a≠0，b≠0，所以分4种情况讨论：

（1）当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3；（2）当a＞0，b＜0时，原式=1-1-1=-1；（3）当a＜0，b＞0时，原式=-1+1-1=-1；（4）当a＜0，b＜0时，原式=-1-1+1=-1。

综上：原式的值为3或-1。

2.某个字母与多个绝对值相关时，要用“零点分段”讨论法。

“零点”是指使式子等于0的未知数的值。如代数式|x-4|的零点就是方程x-4=0的解，即x=4。一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，对应就有几个零点，如代数式|中有两个不同的绝对值，对应有两个零点，即x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

“分段”是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，将数轴分成若干小段。如有两个零点时，在数轴上标出后，可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n个不相同的零点，就把数轴分成（n+1）段。

例3化简代数式

【解析】第一步：由题意得原式的零点为x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

第二步：将求得的所有零点在数轴上标出来，如图1所示，数轴被分成3段：

（1）x＜-2；（2）-2≤x≤4；（3）x＞4。

图1

第三步：在分出的每一段线段内，讨论绝对值符号里式子的正负性，然后去掉绝对值符号，求出绝对值。

解：（1）当x＜-2时，原式=-（x+2）-（x-4）=-2x+2；（2）当-2≤x≤4时，原式=（x+2）-（x-4）=6；（3）当x＞4时，原式=（x+2）+（x-4）=2x-2。

三、巧用绝对值的几何意义求绝对值

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在解绝对值相关问题时，同学们可借助数轴，利用绝对值的几何意义巧解绝对值。解题时要做到“脑中有图，心中有数，数形结合，优势互补”。

例4阅读下列材料：

|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点与原点之间的距离。则|a-b|的几何意义是：数轴上表示数a的点与数b的点之间的距离。例如，的几何意义：数轴上表示数a的点与数1的点之间的距离；|a+2|的几何意义：数轴上表示数a的点与数-2的点之间的距离。

请利用绝对值的几何意义求：

【解析】如图2表示数轴上x到-2的距离与x到5的距离之和。当-2≤x≤5时，表示数轴上-2到5之间的距离，该距离为7。

图2

变式1求代数式的最小值。

【解析】如图2，当-2≤x≤5时，|x+2+|；如图3，当x＜-2时7；如图4，当x＞5时所以的最小值为7。

图3

图4

变式2请你尝试解决以下问题：

【解析】利用绝对值的几何意义，探究奇数个绝对值的和与偶数个绝对值的和的最小值规律。

参考答案：2；4；1019090。

变式3（1）若||x=3，求x的值。

【解析】同样利用绝对值的几何意义解答。

参考答案：3或-3；5或-3；-3或4。