在问题解决中培养学生建构数学模型的能力

所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表述研究对象的主要特征、关系所形成的的一种数学结构。构建数学模型有利于培养学生良好的认知能力和解决实际问题的能力，因此在教学过程中教师要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释应用的过程，从而开发学生的思维能力，培养数学学科的核心素养。下面我就以《植树问题》为例，谈一谈如何在问题解决教学中培养学生建构数学模型的能力。

一、创设问题情境，发现提出问题，构建文本模型

在课的开始，很多教师都会创设一定的情境，对所学新知进行适当的铺垫，从“最近发展区”出发寻找新旧知识的联接点和生长点。但是有些教师却将情境局面局限于知识技能的获取，为学生搭建的是暗示性、狭隘性、过渡性的“桥”，以便让学生轻松便捷地获得知识，这样的方式难以让学生经历知识的探索过程，束缚了学生的思维，抑制了学生的创造性。在建模思想指导下的情境创设，要确保数学问题的探究空间，还学生探索数学问题的权利，让学生经历充分的探索过程，获取丰富、积极的体验。

在教学《植树问题》一课的开始，我先出示了某公园春季植树规划图，引导学生通过观察情境图，尋找数学信息，再根据数学信息，发现并提出问题，构建文本模型。（即：公园里有三条小路，分别长20米、25米和40米，要在这三条小路上从头到尾植树，每隔5米植一棵，这三条小路分别可以植几棵树呢？）这一情境的创设完全来源于生活，简单直白的描述，没有为学生提供任何铺垫性的知识，为学生自主探究植树问题提供了充分的探究空间，从而完成了数学建模第一步，而从“问题情境” 向 “数学问题”的转化。

二、借助解题策略，分析数量关系，构建数学模型

著名的数学家华罗庚先生在总结他的学习经历时指出：对书本中的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程，数学的思想、方法才能沉积、凝聚，从而使知识具有更大的智慧价值。因此，我们在教学时要善于引导学生对自己的学习过程、学习素材、探究发现进行归纳提升，用简明的数学语言建构起数学模型。

在解决 “每条小路分别植几棵树”的问题前，我先让学生猜一猜分别可以植几棵树呢？来验证大家的猜想，然后让学生自主选择摆一摆、画一画、或算一算等策略来表征问题，理清数量关系，再交流解题方法和表征策略。在学生汇报后，再用列表的方法呈现学生的结果：

接着通过观察表格发现规律，从而明确解题思路。（即：用全长除以间隔长度得到的是间隔数，在两端都中的情况下棵树比间隔数多1，因此，间隔数+1才等于棵树。）最后，用点段图表示两端植树的情况“ ”借助直观的点线图进一步理解棵树与间隔数的关系，这样提炼出植树问题的本质，构建植树问题模型，从而完成数学建模的关键一步，从“数学问题”向“数学模型”的转化。

三、运用数学模型，解决实际问题，体验数学价值

在问题解决教学中，学生在教师的引导下，经过自主探究，合作交流，建构起数学的模型，这种数学模型需要在数学实践中进行解释与应用，以进一步理解模型的内涵，科学合理地运用模型解决问题，并在实践运用中进一步拓展和提炼模型。

教学中，在建构了“植树问题”两端都种情况的模型后，引导学生说一说生活中的哪类现象也属于植树问题，通过在学生大量举例的基础上，进而出示 “一端装路灯”、“两楼之间插彩旗”的生活问题。两道练习题不是在简单的运用前面的模型，而是在此模型的基础上又拓展出一端植树和两端都不植情况的模型。（即一端植树时，棵树=间隔数；两端都不植时，棵树=间隔数-1）这样就实现了从“数学模型”向“生活问题”的拓展应用。

总之，在数学教学中，构建和掌握数学模型是数学教育中传授知识、培养能力的一条重要途径。在课堂上学生再也不是“听众”和“观众”，而是模型的发现者和运用者。教师要让“问题解决的过程”成为“数学建模的过程”，让学生在问题解决过程中提升建构数学模型的能力。

作者简介：

张雪英（1976.9），女，汉，北京市通州区，高级教师，大学本科，北京市通州区贡院小学，小学数学教育，101100。