基于IOWA的概率转换新方法

关 欣，赵 静，孙贵东

(海军航空大学, 山东 烟台 264001)

Yager[1]在1988年定义了有序加权平均(OWA,The Ordered Weighted Averaging)算子，该算子可以将信息从多维聚合到一维。随后的几年他及团队成员进一步研究并改进了OWA算子，先后研究了诱导OWA算子，广义OWA算子，加权OWA算子并将其扩展到不确定推理域[2-7]。在研究OWA算子近30年的时间里，许多研究学者对其理论发展做出了重要的贡献[8-12]。他们分析了OWA算子的性质、扩展、优先级、广义性等一系列问题。除了理论上的研究发展，OWA算子还被广泛应用于决策、数据挖掘、模糊集和不确定性、业务诊断、信息聚合、语言计算和分类等许多领域[13-20]。

传统的证据冲突系数K在很多情况下都无法得到正确的融合结果，例如著名的Zadeh悖论[10]，针对这一弊端，Smets等[21-22]提出了著名的概率转换模型TBM(Transferable Belief Model)，在证据理论的发展过程中占据了重要的地位。TBM中的Pignistic概率函数在将复合焦元集信度转换为单焦元子集信度时平均分配了信度值，这在很多情况下限制了它的应用。 因此，需要根据新的概率转换方法来改善Pignistic概率函数。

Pignistic概率转换虽然实现了最大的Shannon熵，我们仍认为这个概念是有争议的。因为复合焦元AB的信度表示的是A∪B的信度而非A∩B的信度。而如何确定真正的可辨子集是一个只能用先验知识才能解决的问题。因此，我们需要根据更符合实际的概率来分配复合焦元集的信度。本文研究的重点就是如何将复合焦元集的信度合理地分配至与之对应的各单焦元子集中。

利用基于先验知识的有序加权方法来聚合信息的优点是显而易见的，OWA算子可以将多维信息聚合成一维信息。然而，在很多情况下，我们面临的是将信息从一维复合焦元集分配到与之对应的多维单焦元子集中，这是OWA算子所无法处理的。

因此，针对这个难题本文定义了一个新算子，即IOWA算子，就是OWA算子的逆运算，通过该算子来实现将复合焦元集信息分配到与之对应的单焦元子集中的目标。

通过IOWA算子，可以根据一定的百分比将复合焦元集的信度分配到与其对应的单焦元子集中。在此过程中，百分比如何确定是需要解决的关键问题。IOWA算子在此时便会发挥它的作用。因为OWA算子与TBM是成反比例关系的，所以OWA算子的逆算子应该与TBM成正比例关系，可以尝试将Pignistic概率函数与IOWA算子结合起来，根据先验知识获取IOWA算子的权重，再根据IOWA算子的权重来确定分配信度的百分比。

本文首先简要概述了OWA算子和Pignistic概率函数的相关概念。其次，定义了IOWA算子且引入了五个常见的有序加权向量算子(Optimistic 算子、Pessimistic 算子、Hurwicz 算子、Weight 算子及Normative 算子)以完成分配信度的任务，并通过算例进行了说明。此外，还定义了基于IOWA算子的Pignistic概率函数，这种新的Pignistic概率函数可以根据先验知识的有序加权向量将复合焦元的信度分配到与其对应的各单焦元子集中。因识别框架中的子集在Shafer模型中的互斥原则，本文还分析了基于IOWA算子的Pignistic概率转换方法用不同有序加权向量进行信度分配时的风险性和准确性。最后，给出一个详细算例验证基于IOWA算子的概率转换新方法的可行性和有效性，讨论了不同有序加权向量算子对分配过程的影响。

1 基本概念

1.1 OWA算子

OWA (The Ordered WeightedAveraging)算子是由Yager[1]在1988年定义的，最早应用在多属性决策领域。

OWA算子可以完成一个映射，使得Ωn→Ω，即

(1)

OWA算子可以将多维信息聚合成一维信息，这在信息融合领域中是得到广泛应用的。

1.2 Pignistic 概率函数

Smets等[21-22]提出了著名的概率转换模型TBM，其中定义了Pignistic概率函数。

设识别框架Θ下的证据都可以用一个mass函数m(·)表示，BetPm:Θ→[0,1]是一个Pignistic概率函数，有

(2)

其中，|B|表示集合B的势。为得到最大的Shannon熵，BetPm(A)将复合焦元集的不确定信度平均转换为其单焦元子集的概率。

2 概率转换新方法研究

通过OWA算子的定义可以看出：该算子可以很好地将信息进行聚合，而复合焦元集信度分配到单焦元子集的过程是一个一维到多维的分配过程，而非聚合过程，因此它是OWA算子的逆运算。基于此，本文定义了IOWA算子，提出了一种基于IOWA算子的概率转换模型，并将其运用到复合焦元集信度分配至单焦元子集的过程中。

2.1 IOWA算子的定义

IOWA(Ω)={wi·Ω|i=1,2,…,n}=

{bi|i=1,2,…,n}

(3)

若IOWA(Ω)i表示某个单焦元子集的IOWA算子，则有

IOWA(Ω)i=wi·Ω=bi

(4)

逆OWA算子的缩写为IOWA，不难发现，在IOWA算子的帮助下，复合焦元集的信息可以根据有序加权向量的百分比被分配到其所对应的各单焦元子集中，这恰是本文的目的。

例1定义一个复合焦元集Ω={Ω1,Ω2,Ω3}且Ω2≥Ω3≥Ω1，b1,b2和b3分别表示Ω2,Ω3和Ω1的分配信度，有序加权向量为w=(w1,w2,w3)T，其中，wi+w2+w3=1。所以当利用IOWA算子将复合焦元集Ω的信度分配给它所对应的单焦元子集Ω1,Ω2,Ω3时，有b1=w1·Ω，b2=w2·Ω，b3=w3·Ω成立。

IOWA算子的关键是要解决如何分配有序加权向量的百分比问题。本文引入了5种常见的可以在不同情况下使用的加权向量算子来进行说明。

(1) Optimistic 算子：w=(1,0,…,0)T；

(2) Pessimistic 算子:w=(0,0,…,1)T;

(3) Hurwicz 算子:w=(η,0,…,(1-η))T,0≤η≤1;

2.2 基于I OWA算子的Pignistic概率函数

本文所提出的IOWA算子可以将复合焦元集的信息分配到与其对应的各焦元子集中，这一点与Pignistic概率函数不谋而合。但是Pignistic概率函数将信息平均地分配到各单焦元子集的做法是十分鲁莽的，很多情况下会限制其应用。实际上可以将Pignistic概率函数看成一种特殊的IOWA算子，它的分配百分比是按照Normative 算子计算的。因此，也可以将Normative 算子称为Smets算子。为了使Pignistic概率函数更加通用，本文将IOWA算子应用于Pignistic概率函数以定义更广义的Pignistic概率函数，称为基于IOWA算子的Pignistic概率函数。该函数的主要改进点就是分配信度时使用的百分比问题。

(5)

其中，m(∅)≠1,j=1,2,…,m，且基于IOWA算子的Pignistic概率函数满足

(6)

将基于IOWA算子的Pignistic概率函数与经典Pignistic概率函数进行比较，不难发现，前者是将复合焦元集的信度根据IOWA算子有序加权向量分配到与之对应的各单焦元子集中，而后者是将信度进行了平均分配。如果将Normative算子应用于基于IOWA算子的Pignistic概率函数中，就转化成了经典的Pignistic概率函数。也就是说，基于IOWA算子的Pignistic概率函数实际上是广义的Pignistic概率函数。可以根据决策者的喜好使用上述引用的5个有序加权向量算子中的任何一个进行信度分配，因此，基于IOWA算子的Pignistic概率函数在将复合焦元集信度分配至与其对应的单焦元子集方面是切实可行且有效的。

2.3 风险和准确性评估

本文所提的基于IOWA算子的Pignistic概率函数可以根据上述五个有序加权向量算子进行信度分配，那它们之间有什么差异呢？一般情况下认为分配过程中的风险及准确度是造成差异的原因，那风险与准确度之间又存在什么关系呢？这是应该关注的一个重要问题。

Shafer模型中应该遵循的一个重要原则就是识别框架中的各子集应该是互斥的，也就是说，它们根据各自所对应的mass函数是可分的。在Shafer模型中复合焦元集的信度应该分配给它的一个单焦元子集而非所有子集。然而，Pignistic概率函数却将信度平均地分给了它所对应的各个单焦元子集，这在信度函数识别框架下是存在争议的。

在此原则下，似乎只能在基于IOWA算子的Pignistic概率函数中运用Optimistic 算子和Pessimistic 算子进行信度分配。Optimistic算子在将复合焦元信度进行分配时，是将最大信度值分配给它对应的单焦元子集，而Pessimistic 算子遵循信度越大焦元越可分辨的原则。前者较后者更直观，但后者通过这种方式，比其他算子更接近事实，因此它更准确。然而，如果将复合焦元集的信度只赋给与其对应的单焦元子集中的一个时就会存在很大的风险，因为不知道拥有最大信度的单焦元子集是否就是实际的子集。所以，在此情况下，此算子的风险要高于其他算子。如果在基于IOWA算子的Pignistic概率函数中使用Normative算子可以实现最大Shannon熵，风险最小，但准确度就会变得很低。可以得出这样一个结论，Pessimistic 算子准确度够高但风险较大，而Normative算子风险小但准确度不高，所以，风险与准确性之间是一致性的关系，即风险越大，准确度越高。

3 算例分析

利用本文所提的基于IOWA算子的Pignistic概率转换方法，对例2中的算例进行分析如下：

例2 假设在某一目标识别系统中，对空中目标进行识别时的框架Θ={θ1,θ2,θ3}，其中，θ1代表预警机，θ2代表战斗机，θ3代表电子战飞机，该目标识别系统对空中目标进行识别时得到的结果以mass函数值得形式体现且各焦元互斥，如表1所示。

表1 各焦元mass函数值

按降序排列单焦元子集的mass函数值，即m(θ2)>m(θ3)>m(θ1)，则

若运用optimistic算子，可得单焦元子集的转换概率：

m(θ1)=0.1

m(θ2)=0.3+0.15+0.08+0.12=0.65

m(θ3)=0.2+0.05=0.25

若运用Pessimistic 算子，可得

m(θ1)=0.1+0.15+0.05+0.12=0.42

m(θ2)=0.3,m(θ3)=0.2+0.08=0.28

若运用Hurwicz算子，且令η=0.6，可得

m(θ1)=0.1+0.4×0.15+0.4×0.05+0.4×0.12=0.228

m(θ2)=0.3+0.6×0.15+0.6×0.08+0.6×0.12=0.51

m(θ3)=0.2+0.6×0.05+0.4×0.08=0.262

若运用Normative 算子，可得

从理论上讲，有序加权算子中的权重可以由决策者的态度决定。然而，为了基于单焦元子集原始mass函数值给出最优权重而非随机确定最优权重值，在运用Weight 算子时，是按照已知的单焦元子集的mass函数值来确定相应权重。可描述为

(7)

通过这样的方式可以更加充分地利用各单焦元子集预先已知的mass函数值，这样比随机确定权重更客观些，例2中所使用的加权算子对此进行了验证。

如果识别框架中各单焦元子集的mass函数值相等，则可根据运用Normative 算子的基于IOWA的Pignistic概率转换方法给复合焦元集信度分配至单焦元子集的权重进行赋值。实际上，两者是等价的。

通过上述的算例分析不难发现，本文所提出的基于IOWA算子的概率转换方法是切实可行的，除了第二种运用Pessimistic 算子与客观事实不符外(这里根据实际情况，本就不该使用该算子)，其他运算结果均与事实相符，即目标识别认定为战斗机，运用Normative 算子的基于IOWA的Pignistic概率转换方法结论较运用optimistic算子、Hurwicz算子和Weight 算子的方法而言准确度不高，但其他算子结果的风险较大。

所以，基于IOWA的Pignistic概率转换方法可以有效地解决原始算法平均分配概率的弊端，提高结果的准确度，适用范围更加广泛，是一种广义的基本概率转换方法，具有一定的推广价值。

4 结论

利用IOWA算子的这种特点，本文将经典的Pignistic概率函数改进为更广义的Pignistic概率函数，即基于IOWA算子的Pignistic概率函数。该概率转换函数并非将复合焦元集的信度平均分给每个单焦元子集，而是根据有序加权向量生成的百分比来进行分配。本文还分析了如何根据已知的信息在加权算子中分配权重的问题。本文设定风险及准确度两个指标来衡量这种影响，通过分析发现，运用Optimistic 算子时，准确度虽然高，但伴随它的还有高风险。运用Normative 算子时，虽然风险降低，但准确度不高。所以得出了风险和准确度两者间具备一致性的关系，即风险越大，准确度越高。基于IOWA算子的概率转换方法在决策和信息融合方面有着自己的优势，可以扩展到很多领域，还可以为冲突证据度量创新视角。