谈马氏过程在经济生活中的应用

王康康

（江苏科技大学理学院，江苏 镇江 212003）

人们在实际的日常生活中常常会遇到有着以下特征的随机过程：在已知某个事物当下所处状态的情况下，它将来发生的未知的变化不依赖于它之前所发生过的变化[1]。像这种已知“现在”的情况下，“将来”和“过去”是相互独立的特性被称为是马尔科夫性，而具有这种特殊性质的随机过程就叫做马尔科夫过程[2]。在液体中微粒的布朗运动，被传染病所感染的人数变化，原子核中任一自由电子在电子层中的变化以及我们最熟悉的人口增长过程等都可以被视为是马尔科夫过程[3-5]。马尔科夫过程的初始模型是马尔科夫链，它是由俄国的数学家安德雷·马尔可夫所提出的。正因为马尔可夫在1906-1907这两年之间发表的研究中构造了一个按照条件概率而彼此之间相互依赖的随机过程，并有力地证明了该过程在一定的条件下是收敛于一组向量的[6-9]，所以该随机过程后得名“马尔科夫链”。下面我们给出它们在经济生活应用中的一个实例。

一、马氏过程在商品销售中的应用

例1：现有某一上市三年的商品，其在市场的销售状态一共有三种，分别是“畅销”“平销”和“滞销”，这三年的销售状态如下表1所示，其中数字“1”表示的是“畅销”状态，数字“2”表示的是“平销”状态，数字“3”则表示的是“滞销”状态。

表1 各月份市场销售状态

步骤1:计算初始状态概率

由题意可知，在给出的这32条销售记录中，在销售状态“1”的有11个，在销售状态“2”的有12个，在销售状态“3”的有9个，用数学语言表达就是N=32，n1=11，n2=12，n3=9，从中我们可以计算出初始概率。

步骤2：计算状态转移概率

从上面已知的表格记录中，我们可以了解到这32条销售记录中状态转移的情况，如下面列出的状态转移表所示：

表2 状态转移表

由上面得到的状态转移表我们可知一步状态转移矩阵是：

二步转移概率矩阵是：

步骤3:对后3-8个月商品销售状态进行预测

运用这个公式，我们可以计算出该商品在将来第一个月份的销售状态向量

换句话说该商品在第33个月被销售的情况下，有50%的可能性会在“畅销”的状态，有20%的可能性会在“平销”的状态，有30%的可能性会在“滞销”的状态。

同理可得该商品在将来第二个月份的销售状态向量

换句话说该商品在第34个月被销售的情况下，有37%的可能性会在“畅销”的状态，有37%的可能性会在“平销”的状态，有26%的可能性会在“滞销”的状态。

我们将其他几个月按照上述的方法代入公式，就可以计算出后来3-8个月中可能会发生的各种销售状态的概率，结果详见下面的销售状态概率预测表：

?

步骤4：最终销售状态的概率预测

写成等式的话就是

二、马氏过程在股票收盘中的应用

例2：研究对象是宁波港2014.8.1-11.30期间80个交易日的收盘价格的变化情况，我们把每日的收盘价格分成“上升”、“持平”和“下降”这三种状态，并分别记作，且状态空间。

状态概率表示的是每个状态可能会出现的概率的大小，我们用状态向量来表示，且，其中是该系统的状态转移矩阵，是状态发生的概率，。

已知数据显示，在80个交易日中，“上升”状态有x1=47，“持平”状态有x2=6，“下降”状态有x3=27，我们可以从中得到。我们将叫作该系统的初始状态向量。

由已知数据我们可以知道，处于“上升”状态的一共有47次，其中由“上升”状态变化到“上升”状态的有27次，所以，由“上升”状态变化到“持平”状态的有5次，所以，由“上升”状态变化到“下降”状态的有15次，所以，同理我们就能得到下面的状态转移概率表：

?

由上表我们知道了股价的状态转移矩阵：

其中每一行的元素表示的是在某一个特定状态下每一种可能变化情况的概率，所以有。

由于已知11.30的时候股价处于“下降”状态，而之后的历史数据无从得知，所以我们可以暂时取。有了这个已知的向量和矩阵我们就可以预测之后几天的收盘日股价所处状态的概率了。

12.1的状态转移概率向量：

这说明12.1宁波港股价处于“上升”状态的可能性为61.5%，处于“持平”状态的可能性为3.85%，处于“下降”状态的可能性为34.62%。

同理可得，12.2的状态转移概率向量：

往后的各个交易日也可以此类推求得。

所以我们得知在多个交易日之后股价最后处于“上升”状态的可能性为59.49%，处于“持平”状态的可能性为7.59%，处于“下降”状态的可能性为32.91%。