数学基本不等式问题求解策略

河南省新密市第二高级中学 王红娟

不等式是高中数学的重要内容之一，而运用基本不等式求最值以及利用均值不等式证明是本章的重点，也是难点，同时又是高考考查的热点。运用基本不等式有很大的灵活性及较高的解题技巧，本文旨在帮助同学们掌握这些技巧，从而轻松解决基本不等式问题。

一、基本不等式的基础形式

1.a2+b2≥2ab，其中a，b∈R，当且仅当a=b时等号成立。

3.常用不等式：，其中a，b∈(0，+∞)，当且仅当a=b时等号成立。

二、应用

(一)基本不等式与最值

(1)积定，和最小：若ab是定值，那么当且仅当a=b时，(a+b)min=，其中a，b∈(0，+∞)。

(2)和定，积最大：若a+b是定值，那么当且仅当a=b时，(ab)max=其中a，b∈(0，+∞)。

利用基本不等式求最值的问题在高考中经常出现，是高考的热点之一，下面将通过一些例题对高考中利用基本不等式解题的基本特征和基本类型进行分类解析。

1.应用基本不等式解题，一定要注意应用的前提：一正、二定、三相等。“一正”是指均为正数；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件。

2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积或和为常数的形式，然后再利用基本不等式解题。

3.条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值。

解题技巧1：凑项

例1已知x＞-2，则的最小值为____。

解析：由题意可知x+2＞0，(x+2)×，明显积为定值。根据和定积最大法则，可得当且仅当时取等号，此时可得

变式：已知求函数y=4x-2+的最大值。

解析：因为4x-5＜0，所以首先要“调整”符号。又因为不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项。

故当x=1时，ymax=1。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

例2若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是____。

变式：函数y=ax-1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny=1上，则mn的最大值为____。

解析：由题意可知函数图像恒过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入直线方程mx+ny=1可得m+n=1。明显和为定值，根据和定积最大法则，可得当且仅当时取等号。

故mn的最大值为

例3若对任意恒成立，则a的取值范围是_____。

解析：观察题中的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。

解法 1：将化简可得观察分母，很明显可以得到积为定值的形式，根据积定和最小的法则，可得当且仅当时取等号。故可得分式的分母

解法 2：将化简可得，这是一个对勾函数，故f(x)而分母f(x)+3≥5，代入分式函数取倒数可得0＜

解题技巧2：凑系数

例4当0＜x＜4时，求y=x(8-2x)的最大值。

解析：由0＜x＜4 知，8-2x＞0。利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8 为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。

故x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值的形式，从而可利用基本不等式求最大值(当然，此题也可直接利用二次函数求最值)。

变式：设，求函数y=4x(3-2x)的最大值。

(二)已知条件求最值

例8求x+y的最小值。

解析：要求x+y的最小值，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会。

解法1：利用“1”的代换。

解法3：由，得y+9x=xy。

故(x-1)(y-9)=9。

因此，x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10，当且仅当x-1=y-9时取得等号。

故当x=4，y=12时，x+y取得最小值16。

评注：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，同学们要学会观察，学会变形。另外解法2，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响。

变式：已知正数a，b，x，y满足a+b=10，=1，x+y的最小值为18，求a，b的值。

解析：本题属于“1”的代换问题。

因为x，y＞0，a，b＞0，所以x+y≥10+

结合a+b=10，解得

例9若实数满足a+b=2，则3a+3b的最小值是____。

解析：3a和3b都是正数，故3a+3b≥，当且仅当3a=3b时等号成立。

由a+b=2及3a=3b，得a=b=1，即当a=b=1时，3a+3b的最小值是6。

变式：若log4x+log4y=2，求的最小值，并求x，y的值。

解答略。

例10已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数的最值。

解法1：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，解答很简单。

解法2：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”的条件靠拢。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。

总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。

例11已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数的最小值。

解析：这是一道二元函数的最值问题，通常有两个途径。一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，故不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

解法2：由已知得30-ab=a+2b。因为，所以

变式：已知a＞0，b＞0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。

解答略。

(三)不等式与其他问题结合

1.不等式与恒成立。

例12已知x＞0，y＞0且求使不等式x+y≥m恒成立时实数m的取值范围。

解得k≥16，故m∈(-∞，16]。

2.不等式与向量。

例13已知b＞0)，且A，B，C三点在同一条直线上，则的最小值为_____。

解析：由三点共线可得a+b=1，观察形式采用“1”的代换，故等式右侧积为定值，可利用积定和最小法则得，当且仅当时取等号。

3.不等式与解析几何。

例14若直线ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为_____。

解析：将圆化为标准方程可得(x+1)2+(y-2)2=4，根据弦长为4 可得直线经过圆心。将圆心(-1，2)代入直线方程可得a+2b=2。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即化简可得，很明显积为定值，根据积定和最小法则，可得当且仅当时取等号，故

4.不等式与解三角形。

例15△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2-bc=0。

(1)求角A的大小；

解析：(1)由题意与余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，解得cosA=

(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc+3=b2+c2。由基本不等式≥ab可得bc+3=b2+c2≥2bc⇒bc≤3，当且仅当时取“=”号。

(3)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc=b2+c2-3，b2+c2+2bc-3=3bc⇒，当且仅当时取“=”号。故三角形的周长C△ABC=a+b+c≤