含参数的线性规划处理策略

安徽省太和中学 任海涛

简单的线性规划问题实际上是二元函数在定义域内的最值(范围)问题。含参数的线性规划问题是高考的常考点，通常有两类，即线性约束条件中含有参数与目标函数中含有参数两类问题。解决的策略有三种：一是先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定线性约束条件中所含有的参数值；二是利用数形结合思想，比较目标函数与边界直线的倾斜程度等，从而求解问题；三是利用集合的思想求解含参数的线性规划问题。

类型一 约束条件中含有参数

约束条件中含有参数指的是约束条件中某一条件含有参数，这意味着约束条件是变动的，这种变动导致目标函数最值的变化。

例1实数x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m=( )。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解法1：约束条件所表示的平面区域如图1所示，目标函数z=2x-y可化为y=2x-z。

图1

因为直线y=2x-z的斜率所以由图像可知，当直线y=2x-z过点时，直线在y轴上的截距-z最小，即z最大。

点评：线性约束条件中含有参数问题，可以根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，然后确定线性约束条件中所含有的参数值，最后再画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题。

解法2：将问题转化为“对任意(x，y)满足都有2x-y≤2 成立。记不等式组表示的区域为Ω1，不等式2x-y≤2表式的区域为Ω2，则有Ω1⊆Ω2。先将不等式组对应的区域画出，再将不等式2x-y≤2 对应的区域画出，当Ω1⊆Ω2时，直线mx-y=0过点(2，2)，可解得m=1。

点评：将题设“目标函数z=2x-y的最大值为2”转化为不等式2x-y≤2，进而将线性规划问题转化为恒成立问题，利用集合的包含关系解题，可以回避对参数的分类讨论。但需要注意的是，若将题设条件改为“实数x，y满足约束条件如果2x-y≤2 恒成立”，则m就不是具体值了，而是变为一个范围了。

【结论】利用集合的思想求解含参数的线性规划问题，常用到以下结论：

(1)记二元一次不等式组对应的平面区域为集合Ω，对(x，y)∈Ω，Ω为一个封闭区域⇔函数f(x，y)既有最大值又有最小值。

(2)线性目标函数f(x，y)的最值只能在可行域的边界或顶点处取得。

(3)记二元一次不等式组对应的平面区域为集合Ω1，二元一次不等式对应的平面区域为集合Ω2，若Ω1⊆Ω2，则任意(x，y)∈Ω1都能使这个不等式成立；若Ω1∩Ω2≠∅，则存在(x，y)∈Ω1使这个不等式成立。

类型二 目标函数中有参数

目标函数中含有参数，往往与直线的斜率有关，一般是已知其最优解有一个或无穷多个，求参数。

例2已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y仅在点A(3，0)处取得最大值，则实数a的取值范围为_____。

解析：约束条件所表示的平面区域如图2所示。

目标函数z=ax+y仅在点A(3，0)处取得最大值，即直线y=-ax+z仅在点A(3，0)处的截距z取得最大值，故由图像可知，当且仅当直线斜率满足时符合题意，解得

图2

实数a的取值范围为

点评：目标函数中含有参数，可以根据条件先画出可行域，然后利用数形结合思想，通过比较目标函数与边界直线的倾斜程度，直观求解。

例3已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为____。

图3

解析：约束条件所表示的平面区域如图3所示。

因为目标函数为z=ax+y，当z=a+1时，直线过点A(1，1)；当z=2a+4时，直线过点B(2，4)。

因为点A(1，1)，B(2，4)分别在直线3x-y-2=0，x+y-6=0 上，所以由图像可知，当直线y=-ax+z分别在点A(1，1)，B(2，4)取得最小值和最大值。其斜率-a满足0≤-a≤kAC=2或0＞-a≥kBC=-1，解得-2≤a≤1。

点评：掌握直线的斜率与截距的几何意义是解题的关键，斜率的几何意义要注意以下两点：一是符号和绝对值，斜率大于零，函数递增，直线上升，绝对值越大，直线越陡峭；二是斜率的取值范围可按照口诀“边界斜率先计算，九十度线是关键。包含此线取两边，不含此线取中间”进行确定。

例4已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取得最小值为2 5时，a2+b2的最小值为____。

解析：约束条件所表示的平面区域如图4所示。

目标函数为z=ax+by(a＞0，b＞0)可 化 为y=

图4

因a2+b2的几何意义为直线2a+b=上的点到原点距离的平方，故a2+b2的最小值为

点评：解目标函数含有双参数问题，关键是先利用数形结合确定目标函数z=ax+by在何处取得最小值，再借助点到直线的距离公式即可求解。

类型三 约束条件和目标函数中均有参数

当约束条件和目标函数中都含有参数时，若目标函数中参数讨论范围确定，约束条件中的参数也随之确定。一般情况下，我们先考虑目标函数中的参数：第一，考虑目标函数对应直线的平移方向，参数的不同取值将影响到最优解的位置；第二，考虑可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，结合图形，再对参数的取值情况进一步讨论。

例5已知变量x，y满足约束条件目标函数z=x+ay的最小值为7，则a=( )。

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

解析：约束条件所表示的平面区域如图5所示。

当a=0 时，显然不满足题意。

当a≥1时，画出可行域。

图5

又z=x+ay，故当直线经过可行域中点时，z取到最小值。

当0＜a＜1时，画出可行域，显然直线y=在y轴上的截距没有最小值，不合题意；

当a＜0时，画出可行域，显然直线在y轴上的截距没有最值，不合题意。

故答案为B。

点评：本题把目标函数z=x+ay化为y，a的正负决定了目标函数对应直线的平移方向，所以先对a进行讨论，分a＞0，a=0，a＜0三种情况，其中当a=0，a＜0时，都不合题意，当a＞0时，目标函数取最小值，对应直线应向下平移，可行域边界直线的斜率分别为-1，1，选择哪个数作为讨论的参照对象，可结合图形，对参数的取值进行讨论。

类型四 隐形约束条件的线性规划问题

例6已知若0≤λ≤1≤μ≤2时的最大值为2，则m+n的最小值为____。

解 析：（λ+μ，μ）⇒λ=x-y，μ=y。

故0≤x-y≤1≤y≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线的斜率小于零知直线在点（3，2）处取得最大值，即

点评：解决隐形约束条件问题，首先应利用已知条件正确给出满足条件的可行域，然后再转化为熟悉的线性规划问题。

跟踪练习：

1.设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y(a＞0)的最大值为18，则a的值为( )。

A.3 B.5 C.7 D.9

2.已知x，y满足时，z=ax+by(a≥b＞0)的最大值为2，则直线ax+by-1=0过定点( )。

A.(3，1) B.(-1，3)

C.(1，3) D.(-3，1)

3.已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为Ω，若∃(x0，y0)∈Ω，使得(x0-1)2+(y0-4)2≤m，则实数m的取值范围是____。

4.实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为____。

答案：1.A 2.A 3.[20，+∞)4.