一种低副瓣稀布阵列天线的方向图综合算法

王新宽，王桂宝，贾建科

(陕西理工大学 物理与电信工程学院，陕西 汉中 723001)

0 引 言

在阵列天线的许多应用场合，要求天线具有窄波束以提高分辨率，而容许牺牲掉一些天线增益[1]。因此，可以从一个固定口径、单元规则排列的满阵中随机抽取掉部分单元来形成所需的方向图，这种阵列被称为稀疏阵列(简称稀疏阵)。稀疏阵的特点是单元随机分布在一组间距为半波长的栅格上。如果阵列的单元不被限制在这些栅格上，而是在整个孔径的范围内随机分布，就会形成稀布阵列天线(简称稀布阵)。图1给出了一种6单元稀疏及稀布阵列天线的示意图。图1中，符号“×”代表栅格位置；符号“”代表该位置上存在天线单元。稀疏/稀布阵列天线的优点在于能够显著降低天线的重量、成本、以及功率损耗，可以获得相对于满阵更低的旁瓣电平(sidelobe level, SLL)而不会引起主瓣波束的明显展宽。而且，稀疏/稀布阵列设计方案也为缓解紧密排列的含T/R组件的有源阵列单元的散热问题提供了可行的解决措施[1]。基于上述原因，寻找优异的阵列综合算法，用于指导稀疏/稀布阵列天线的设计，具有潜在的工程应用价值。

图1 稀疏/稀布阵列天线示意图Fig.1 Sketches of thinned/sparse array

与稀疏阵相比，稀布阵的单元不必限制在有限的栅格位置上，从而具有更高的自由度来实现低副瓣。多年来，针对稀疏/稀布阵列天线的方向图综合一直是阵列天线领域的研究热点之一。各种随机优化算法，比如遗传算法(genetic algorithm, GA)[2-5]，蚁群算法(ant colony optimization, ACO)[6]，粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)[7-10]，差分进化算法(differential evolution, DE)[11-12]等，已被广泛用于稀疏/稀布阵列天线的方向图综合。在上述几种算法中，DE算法因具有更好的全局收敛特性，且控制参数较少，鲁棒性高的特点，成为近些年来稀布阵列综合的主流算法之一。尽管如此，这些算法的共同特点是只适用于含有少量单元的小型阵列。对于尺寸比较大的阵列，随着单元数目的增加，采用上述随机优化算法不但会消耗相当多的计算资源，而且很难求得最优解。为此，文献[13]引入一种称作迭代傅里叶算法(iterative Fourier transform, IFT)的方案用于稀疏阵的综合。所得结果表明，该算法不但收敛速度快，而且适用于综合各种不同尺寸的稀疏直线阵以及稀疏平面阵列[13-14]。尽管如此，对于单元数较多的稀布阵列的方向图综合，尚缺乏较好的解决方案。其原因在于，与稀疏阵相比，稀布阵的综合需要考虑到天线孔径、单元最小间距，单元数目等多种约束条件，并由于单元分布具有更大的随机性，导致随着单元数目的增多，算法的寻优空间被大幅度扩展，使得采用随机优化算法难以跳出局部解。近年来，有学者把贝叶斯压缩采样(Bayesian compressive sampling, BCS)方法应用于综合含有较多单元的稀布阵列天线[15-16]，取得了较好的效果。然而，基于BCS的方法，要求单元为非均匀激励，并且为了满足方向图的特定要求，通常会产生相邻单元的激励幅度比过大的情况，这样会导致馈电成本的大幅增加。

文献[17]通过把迭代傅里叶算法和差分进化算法相结合，提出了一种唯位置综合的稀布直线阵列综合方法，简称IFT-DE。该方法首先采用IFT算法获得一个单元相位为零且等功率馈电、栅格间距为半波长的稀疏阵列。然后，选取该阵列中，间距大于半波长的单元作为优化对象(也就是假定单元最小间距为半波长，这样可以有效降低互耦效应的影响)，采用DE算法，对这些单元的位置进行优化以寻找具有更低副瓣的单元分布。根据上述对单元最小间距的假定，执行完算法的第一步后，绝大部分单元的位置将被固定下来，只有少量的单元参与到算法第二步的优化进程。这样使得DE个体中的优化变量数目大幅减少，从而也大幅缩小了算法的寻优空间，促进了算法的加速收敛。研究结果表明，与IFT方法相比，IFT-DE算法能够在不展宽阵列方向图的波束宽度情况下，使其旁瓣电平值降低约1～3 dB[17]。

本文在文献[17]所述算法的基础上，提出了一种设计低副瓣稀布阵列天线的改进方案。该方案中，针对被选中的待优化单元，不仅考虑这些单元的位置，还考虑其激励相位，也就是采用DE算法对这些单元的位置和相位同时进行优化以获取具有更低副瓣的稀布阵列天线。更进一步，在对算法程序稍加修改后，本文还把该算法扩展到含有较多单元的二维稀布平面阵的低副瓣综合。通过对不同尺寸的稀布直线阵及一些稀布平面阵进行仿真后的结果表明，本方案能够行之有效地应用于较大尺寸稀布阵列天线的低副瓣综合。

1 算法描述

1.1 阵列模型

假定一直线阵列，含有N个零相位、均匀激励的理想辐射单元，其阵因子可表示为

(1)

(1)式中：u=sinθ(θ指远场方向和阵列法向的夹角)；An代表第n个单元的激励；k为波数；d为单元间距。若单元保持不变，阵列为一M行N列的矩形平面阵，其阵因子可表示为

(2)

(2)式中：Amn代表栅格位置为(m,n)点的单元激励；u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，其中，φ代表方位角，θ为天顶角。对于稀疏阵列，在相位为零，均匀激励情况下，An和Amn的取值只能为1或0。若取1代表相应位置存在单元，取0则代表不存在。为方便起见，把所有An及Amn的集合分别记作{An}和{Amn}。这样，从(1)式和(2)式以及Fourier级数理论，当单元间距为半波长时，{An}和FL(u)，以及{Amn}和FS(u,v)分别构成一维及二维傅里叶变换对。

1.2 算法流程

本算法的执行过程可分为2部分：①采用IFT算法获得一个各单元均匀激励且相位为零的稀疏阵列；②针对此阵列，选取相邻间距大于半波长的单元作为研究对象，把这些单元的位置和相位分别作为待优化的个体变量，采用差分进化算法进行优化，以获得具有更低副瓣的稀布阵列。为了详细描述该算法的流程，以上述直线阵列模型为例，并假定阵列的填充因子为f0，对该算法的步骤阐述如下。

1)利用IFT算法获得一个稀疏直线阵列。

①随机初始化单元激励{An}，使得An的值以相等的概率置1或0。

②对{An}施加K点IFFT以得到阵列因子FL(u)，其中，K的大小需满足采样定理。

③在FL(u)的K个采样点中，选择位于旁瓣区域内的点并对其重新赋予一个预设的旁瓣电平值。

④对更新后的FL(u)施加K点FFT，得到新的点集{Ap|p=1,2,3,…,K}，它对应K个单元激励，简记为{Ap}。

⑦重复步骤②—⑥，直到相邻2次迭代获得相同的单元分布，或者达到设定的最大迭代次数后，算法的第一部分结束。

2)针对上述得到的稀疏阵列，选择相邻间距大于半波长的单元作为优化对象，采用差分进化算法，分别对这些单元的位置和相位进行优化，以寻找具有更低副瓣的稀布阵列。具体步骤如下。

①确定待优化的单元编号l=1,2,…,L，把其位置标记为{bl|l=1,2,…,L}，简记为{bl}。为了阐述选取规则，以图2所示含有8个栅格，5单元填充的稀疏直线阵为例进行说明。可以看出，编号为1st, 2nd, 3rd, 4th的单元满足间距大于半波长的条件，因此，它们将被选中作为继续优化的对象，而2nd与3rd之间的单元将被固定在其初始位置，无需优化。

图2 待优化单元的位置变化范围示意图Fig.2 Sketch to describe the location range of the elements to be optimized

②确定DE的种群规模与个体向量。

假定DE的当前种群可表示为

Pg={Xi,g|i=1,2,…,I}

(3)

(3)式中：Xi,g代表第g代种群中的第i个个体；I为种群规模。把被选中单元的位置和相位设为待优化的参数，从而个体向量Xi,g可以记作

Xi,g={xl,i,g,pl,i,g|l=1,2,…,L}

(4)

(4)式中：L为待优化的单元数目；xl,i,g和pl,i,g分别代表第l个待优化单元的位置和相位。

③确定个体向量中参数的变化范围。

从(4)式可看出，个体向量的参数包括位置参数和相位参数。对于相位参数pl,i,g,l=1,2,…,L，统一设定相位的变化范围位于(0,π)之内。对于位置参数xl,i,g,l=1,2,…,L，设定其变化范围为

(5)

(6)

依据(6)式，可以依次确定每个单元的移动范围，即参数xl,i,g的变化范围。需要说明的是，若待优化单元处于阵列最外围位置，则该单元可移动的上限可以到达阵列孔径最边缘的栅格位置。为了更直观地描述，图2中用双箭头标出了编号分别为1st, 2nd,3rd,4th单元的位置变化范围。

④初始化种群中的个体。

对种群中的个体参数初始化如下。

(7)

(7)式中，l=1,2,…,L,i=1,2,…,I，R代表(0,1)之间均匀分布的随机数。利用(7)式进行种群初始化后，分别进行变异(变异算子取DE/rand/1)、二项式交叉、选择等操作以产生新的种群，并把具有最佳适应度的个体作为迄今为止的最佳个体保留下来，进入下一代进化过程，直到达到预设的最大进化代数为止，就完成了一次完整的数值试验。之后，算法又重新初始化，进入下一次数值试验。图3给出了算法流程图。

图3 算法流程图Fig.3 Flowchart of the proposed algorithm

2 计算机仿真结果

为了说明算法的有效性,以下分直线阵和矩形平面阵2种情况进行讨论。算法的试验次数为100次，并设定DE的种群规模和最大进化代数均为20，缩放因子和交叉概率分别取0.7和0.9。

2.1直线阵列

首先考虑在一个含有100个栅格位置，填充因子为76%的对称稀疏阵基础上，综合一个相位和位置均对称分布的稀布阵列，所得结果如图4，图5。图4a给出了分别执行完算法第1步(仅执行IFT算法)和算法第2步(采用DE对被选中单元的位置和相位进行优化)后的适应度收敛情况。对比后可以看出，通过对部分单元的位置和相位进行优化后，适应度函数值有了较大幅度的下降。在第68次试验时，适应度达到最小值-24.74 dB，分别比文献[3]和文献[17]中的结果低约4.2 dB和1.18 dB。图4b给出了与最小适应度对应的稀布阵列天线的方向图。为了说明算法的执行过程，对于第68次试验，图5a描述了执行完算法第1步后得到的稀疏阵列的单元分布及其激励幅值。由于等幅激励且不考虑相位，所有单元的激励值均被记作一个归一化的幅度值1，图5a中，顶端为圆环的记号代表该处单元保持其位置不变，而顶端为方形的记号代表该位置的单元满足相邻间距大于半波长的条件，因此将是待优化的对象。可以看出，在含有76个单元的稀疏阵中，共有28个单元满足此条件。考虑到对称性，仅有14个单元的位置和相位需要被优化，从而DE中的个体向量共含有28个可变参数。图5b，图5c分别给出了执行完DE算法后，被优化单元的位置及其相位分布。与优化前相比较可以看出，被优化单元的位置在原来的栅格位置附近发生了一定范围的扰动，但是仍满足单元最小间距不小于半波长的约束条件。并且，这些单元的相位也不再是零值。表1列出了被优化单元的最终位置和相位值。同样，若保持初始稀疏阵列的栅格数不变，但填充因子分别增加到78%和80%，利用本算法得到的稀布阵的旁瓣电平值分别为-24.25 dB和-23.51 dB，与文献[3，6]中的结果相比，分别降低约3.7 dB和3.0 dB。与文献[17]中的结果相比，旁瓣电平降低约1.3 dB。

表1 图5b，图5c描述的单元位置和相位

图5 稀布阵列的单元数为76时， 单元的位置及其相位分布Fig.5 When the number of element within sparse array is 76, the element positions and phases

类似地，稀布阵列的单元数为132时，算法的收敛曲线，以及最佳阵列的方向图如图6。初始稀疏阵列含有200个栅格，填充因子为66%且单元对称分布，通过100次数值试验后，得到的最佳适应度值为-24.72 dB，见图6a。图6b给出了与该适应度对应的稀布阵的方向图。与文献[13]中的结果相比，该方向图的旁瓣电平值下降了1.86 dB，而3 dB波束宽度(用Φ表示)只展宽了0.035度。图7给出了稀布阵列的单元位置及其相位分布。图7a描述了仅采用IFT算法得到的初始稀疏阵列的单元分布。可以发现，在总数为132的单元中，共有38个单元被选中作为继续优化的对象。图7b，图7c描述了优化后，上述被选中单元的位置及其相位分布。可以看出，优化后单元的位置和相位仍保持对称分布。同样，当稀疏阵的填充因子增加到77%时，所得稀布阵的旁瓣电平值为-24.89 dB，比文献[13]中的结果降低了1.97 dB,而波束宽度仅展宽了0.012度。与文献[17]中的结果相比，旁瓣降低约0.85 dB。表2对本文结果和文献中的结果进行了比较，其中，T代表被优化单元的数目。对比分析表明，本文提出的算法方案能够行之有效地应用于低副瓣稀布直线阵列的方向图综合。

表2 不同算法所得稀布直线阵列的方向图参数

图6 稀布阵列的单元数为132时，算法的 收敛曲线，以及最佳阵列的方向图Fig.6 When the number of element within sparse array is 132, the convergence curve of the algorithm, and the pattern of the optimum array

图7 稀布阵列的单元数为132时， 单元的位置及其相位分布Fig.7 When the number of element within sparse array is 132, the element positions and phases

2.2 矩形平面阵列

对一个M行N列的矩形平面阵列，其方向图表达式如(2)式。为了应用本算法，只需把IFT算法中的FFT换为2-D FFT即可。首先，利用IFT算法产生一个初始的矩形平面稀疏阵列，以纵向(列方向)为参考方向，针对该阵列的每一列单元，选取相邻间距大于半波长的单元作为待优化的对象。然后，利用DE算法对这些单元的位置和相位进行优化以获取具有更低副瓣的稀布平面阵列。为此，假定初始稀疏阵列的栅格数目为24×24，填充因子为44%。利用本算法得到的稀布阵的单元分布如图8。图8中，符号“+”代表无需优化的单元，这些单元处于矩形阵列的栅格位置上。符号“□”代表被优化单元的最终位置(为简单起见，规定这些单元的位置只在阵列的纵向发生变化)。从图8可以看出，在总数为254的单元中，被优化单元的数目为30个，它们的位置相当于在原来的栅格位置附近发生了扰动。图9给出了被优化单元的相位分布。图9中编号1～30是指按照图8中列的顺序，从上到下,从左到右，依次对被优化单元进行的编号。图10为所得稀布阵列的三维方向图，该方向图的旁瓣电平为-22.44 dB，比文献[7]中的结果低3.47 dB。与之类似，若初始稀疏阵列的栅格结构为12×12，填充因子为48%，利用本算法得到的稀布平面阵列的旁瓣电平为-18.52 dB，比文献[7]中的结果低约1.8 dB。表3给出了2种方法的对比结果。可以看出，与HSPSO算法相比，本文算法在低副瓣稀布平面阵列的方向图综合中具有一定优势。

图8 24×24矩形稀布平面阵的单元分布Fig.8 Element distribution of the 24×24 rectangular sparse planar array

图9 24×24矩形稀布平面阵中，被优化单元的相位分布Fig.9 Phase distribution of the elements being optimized within the 24×24 rectangular sparse planar array

图10 矩形稀布平面阵的三维方向图Fig.10 3D pattern of the rectangular sparse planar array表3 本文算法与HSPSO算法所得稀布平面阵列的旁瓣参数Tab.3 Sidelobe level of the planar sparse array obtained by this method and the HSPSO

孔径尺寸填充因子TSLL本文结果HSPSO[7]12×1248%15-18.52-16.7424×2444%30-22.44-18.97

3 结 论

为了对含有较多单元的稀布阵列天线进行低副瓣综合，本算法首先在规定的孔径范围内，利用IFT算法获得一个栅格间距为半波长的稀疏阵列。然后选择阵列中单元间距大于半波长的单元作为待优化对象，继续采用差分进化算法对被选中单元的位置和相位进行优化，以获取具有更低副瓣的稀布阵列天线。由于大多数单元的位置在算法的第一步已经被确定，故仅有少量单元进入优化进程，使得DE算法的寻优空间大幅缩减，从而加速了算法的收敛。数值试验结果表明，本算法可为低副瓣稀布阵天线的设计提供一定的参考价值。