一道函数题的低分缘由探析与启示

摘 要：本文通过对2019年宁德市毕业班质量检测试卷第22题学生解答情况进行研究，得出以下结论：初中函数的教学要加强学生观察能力和数形结合能力的培养，用联系的眼光看待方程、函数、不等式等问题.学生函数学习能力的发展既需要活动经验的积累又应加强通性通法的训练.

关键词：函数问题;解答分析;教学启示

作者简介：缪凌颖 （1988-），男，福建宁德人，本科，中学一级教师 ，研究方向：初中数学教学.

在2019年宁德市毕业班质量检测试卷中，笔者命制了一道以反比例函数为背景的中档试题，引发了本市师生的热烈讨论.现将该题的命题思考、学生的典型错误、优秀解法、教学启示整理成文.

1 试题的命制历程与思考

1.1 试题呈现

已知反比例函数图象上两点A（2，3），B（-2x+2，y1）的位置如图1所示.

（1）求x的取值范围;

（2）若点C-x，y2也在该反比例函数的图象上，试比较y1，y2的大小.

1.2 試题原型

（2018年南京中考第18题）如图2，在数轴上，点A，B分别表示数1，-2x+3.

（1）求x的取值范围;

（2）数轴上表示数-x+2的点应落在（）.

A.点A的左边

B.线段AB上

C.点B的右边

1.3 命题的思路与价值分析

原题改变了以往比较数轴上两定点所表示实数的大小的命题方式，将数轴上点的相对位置、实数大小比较、不等关系、参数问题等知识巧妙结合，命制了一道富有创意的试题，较好地考查学生应用意识、数形结合、逻辑推理等数学素养.本命题组借助原题的立意，结合要考查的知识进行二次创新，将一维数轴上的位置关系问题拓展为二维平面反比例函数图象上位置关系问题.改编后，试题令人耳目一新，难度适中.在原题的基础上融入了函数的单调性，有效地考查了通性通法，同时注意到了与初高中函数性质的衔接.

2 学生答题情况反馈

试题定稿后，命题组预估两个小题的难度分别为0.66和0.22，然而实测的结果却出乎预料：两个小题的难度分别只有0.24和0.15，是什么因素造成如此巨大的反差呢？笔者走访了市内的几所初中，通过对师生的访谈，了解了部分学生解题的想法，收集了一些典型错误及优秀解答等.

2.1 学生典型错解与分析

2.1.1 关于第（1）问

错解1 因为点B在第一象限，

所以点B的横坐标大于0.

所以-2x+2>0.

所以-2x>-2.

所以x<1.

错解2 因为点B在反比例函数图象上，

所以点B的横坐标不为0.

所以-2x+2≠0.

所以x≠1.

错解3 因为点A，B在反比例函数图象上，且点B在 点A的右边，则点B的横坐标大于点A的横坐标.

所以x>2.

错解4 因为点A（2，3）在反比例函数图象上，

所以该反比例函数的表达式为y=6x.

所以由图象可知点B的纵坐标0

将y1=1代入y=6-2x+2，解得x=-2.

将y2=2代入y=6-2x+2，解得x=-12.

所以-2

评析 错解1，2具有共性，失误的原因显然是对题干中的关键题眼——“位置”，只关注到点B在第一象限，却忽略了A，B两点的相对位置，这暴露出学生识图能力的不足，在函数学习中对数形结合的思想体悟不深，对函数学习存在畏惧心理;错解3的形成原因是主观上认为点B的横坐标就是x;错解4失误的原因是对不等式的解理解偏差，认为0

2.1.2 关于第（2）问

错解1 因为该反比例函数的表达式为y=6x，

所以设x=-1，则可得B（4，1.5），C（1，6）.

所以y2>y1.

错解2 因为-x是负的，

所以点C在第三象限，则可得y2<0.

因为点B在第一象限，则可得y1>0，

所以y1>y2.

错解3 将B-2x+2，y1、C-x，y2分别代入y=6x，得y1=6-2x+2，y2=-6x.

所以y2-y1=6-2x+2--6x=12-6x-2x2+2x=6-3x-x2+x.

所以y2-y1<0，

所以y1>y2.

评析 错解1的原因是学生用特殊来代替一般，从考试策略上看，特殊值法对付选择题不失是一种有效的方法，但对于解答题，只能用特殊值法去推断结论，而完整解答，还要依赖严格的推断去得到一般性的结果.组织访谈时，学生表示一般情形难以说明，只好用特值去猜想，得出结论，获取部分分值;错解2的原因是学生对字母表示数的内在含义理解不深，以为-x就是负值;错解3的原因是学生对作差结果的符号判断出现偏差，实际上应该借助x<1来判断分式6-3x-x2+x的分子和分母的符号来确定结果，这对初中生提出了比较高的要求.

2.2 学生优秀解法展示与赏析

在调查访谈的过程中，尽管本题难度值较大，但部分优秀学生还是能从不同角度去思考，从而解决问题，现将几类典型解法予以整理呈现.

解法1 （1）由函数图象可知，点B在点A的右边，所以-2x+2>2.

所以x<0.

（2）因为x<0，所以-x>0.

所以-2x>-x.

所以-2x+2>-x>0.

所以点C在第一象限内，且点C在点B左侧.

由于反比例函数图象在第一象限，y随着x的增大而减小，所以y2>y1.

评析 第（1）问利用图象上点的位置关系来判断相应横坐标之间的大小;第（2）问利用已有的x的取值范围巧妙地构造-2x>-x，再借助不等式的性质将其放缩得到-2x+2>-x>0，这种解法需要学生敏锐地观察到-2x+2与-x的一次项系数和常数项之间的关系，有较大地思维跨越.

解法2 （1）略.

（2）因为x<0，所以-x>0.

所以点C在第一象限内.

因为-2x+2--x=-x+2，又因为-x>0，所以-x+2>2>0.

所以-2x+2>-x.

所以点C在点B左侧（下略）.

评析 利用求差法比较-2x+2与-x的大小，结合x的取值范围判断差的结果为正，进而判定出点C的位置，解答简洁，彰显通法.可见这类学生对不等式的知识掌握扎实，有较强的迁移与应用能力.

解法3 （1）略.

（2）因為x<0，所以-x>0.

所以点C在第一象限内.

①当-x=-2x+2时，x=2;

②当-x>-2x+2时，x>2;

③当-x<-2x+2时，x<2.

因为x<0，所以只有③式成立.

所以点C在点B左侧（下略）.

评析 通过对-2x+2与-x的大小关系的分类分析，并结合x的取值范围判断每一种情况成立的可能性.这种解法在教材中有多次渗透，其核心思想就是利用分类讨论来解决问题，发展学生的分析问题、解决问题的能力.

解法4 （1）略.

（2）因为2+-2x+22=-x+2，

所以-x+2>-x>0.

因为-2x+2>-x+2，

所以-2x+2>-x>0.（下略）

评析 利用中点坐标公式对A，B两点横坐标的中点-x+2位置作出判断，再观察-x+2与-x的大小关系来寻找-x的位置.这种解法虽有“超纲”之嫌，但学生能利用数形结合的思想寻找点的位置，也实属难能可贵.

3 教学启示

3.1 函数图象教学，注重数形结合

数学是研究数量关系和空间形式的科学，以形助数或以数思形，通过数形结合的思想，建立数与形的联系，这是学习者最需要培养的一种素养[1].作为承载数形结合思想的函数图象教学，在起步阶段一定要“慢节奏、细作图、多分析”，保护学生的求知欲和学习兴趣.如在“反比例函数的图象与性质”教学中，至少要把握好三个环节：①读式想图，思考y=6x的图象可能具备哪些性质？你能大致画出它的大致图象吗？②描点作图，通过逐步改变点的位置，观察图象的趋势变化使学生深刻认识函数的单调性;③识图析图，结合已有的图象分析，猜想函数的性质，进而归纳出反比例函数的图象与性质.只有经历观察、猜想、操作、验证等一系列数学活动过程，才能促进学生对函数性质的理解和数形结合思想的体悟.

3.2 理性精神培养，依赖逻辑推理

数学的理性精神，就是用理性的思维方式去挖掘数学内涵、揭示问题实质、辨别命题真伪，而逻辑推理能力的发展是学生理性精神培养的主要途径.逻辑推理包含推理能力和运算能力两大核心概念，在所有的教学环节中都应无处不在，时时渗透.如在错解1，2中出现了用特殊代替一般来推理的情况，还有主观认为-x是负的现象，都是对推理的依据思考不足造成的.这就要求教师在教学中要注意引导学生对思考对象做出判定时应有理有据， 合乎逻辑.

3.3 常规基础问题，夯实通性通法

通性通法是学生解题的根本，是培育奇思妙解的沃土.在常规基础复习中，教师应避免追求技巧的渗透和知识的过度补充.例如本题第（2）问的问题核心不过是-2x+2与-x的大小比较，而在各版本的教材中都涉及到了用求差法判断对象的大小;又如在不等式的章节学习中，都有遇到以下的问题情境：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定月租费10元，每通话1min收费0.3元;乙种业务不收月租费，但每通话1min收费0.4元.如何选择更合算[2]？用分类讨论的方法解决不等式大小比较问题.可见，只有在平时的教学实践中将通性通法题练好、悟透，才能在不断变换的情境中游刃有余.

3.4 变式训练拓展，关注思维成长

变式训练拓展是数学解题教学的一个重要组成部分，通过关注问题的本质不断改变情境，引导学生用类比、归纳等方法认识变式，在问题解决和反思中认识变与不变，寻找共性与差异.例如，本题的改编就是将一维数轴问题情境变换为二维函数情境，其本质不变.当然，还可以将反比例函数改为一次函数问题、二次函数问题等.如已知A，B是一次函数在第一象限图象上的两点，它们的位置如图3所示，若点A的横坐标是-3m-2，点B的横坐标是4，求m的取值范围.变式训练拓展的目的是为了发展学生的解题能力，从而促进思维成长.在平时教学中教师要有意识地变式，甚至和学生一起变式，这对学生的思维成长大有裨益.

3.5 联系相关知识，指向初高衔接

从中考命题趋势来看，函数含参、对称性、单调性、定点等问题都体现初高衔接.如何在函数教学中逐步渗透呢？首先，要以联系和生长的眼光定位函数知识，将函数、方程、不等式作为一个整体来看待;其次，要加强函数案例的研究，寻找解题策略，如函数单调性、定义域、值域问题都与不等式紧密联系，函数交点、定点问题与方程息息相关;最后，积累函数学习经验，让学生多经历“数——形——数”的反复探究过程，发展逻辑推理、直观想象等数学核心素养，凸显函数的育人价值.

参考文献：

[1] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读 [M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 赵敏，王永会.义务教育教科书数学八（下）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2014.

（收稿日期：2019-08-01）