二元函数的相对连续性*

何桂添李科宇唐国吉

(广西民族大学 理学院,广西 南宁530006)

0 引言

连续性是函数的基本概念.二元函数是多元函数最简单的情形,国内现行的数学分析教材几乎都包含二元函数连续性这部分内容.[1-3]如参见方丽菁等[4]进一步研究了二元函数的连续与关于单变量连续之间的关系,获得了一些新的结果.

受以上文献的启发,我们继续探讨二元函数的连续性.引入二元函数的相对连续性概念.通过例子,我们知道二元函数的相对连续性严格弱于它的连续性,且包含二元函数的关于单变量连续作为特例.研究了相对连续的二元函数的局部性质和整体性质.作为介值性的应用,考察了二重积分的中值定理.推广和改善了一些已知的结果.

1 定义

定义1 设c是包含于平面点D⊂R2的一条曲线段,设f定义在点集D上的二元函数,点P0(x0,y0)∈c.

(i)称f关于集合D在点P0连续,如果对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P∈U(P0;δ)∩D,就有

(ii)称f关于集合D在点P0相对于曲线段c连续,如果对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P∈c：l c(P,P0)＜δ,就有

其中l c(P,P0)表示沿曲线c点P到点P0的弧长.

(iii)称f关于集合D在点P0对变量x连续,如果对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P(x.y0)∈D：|x-x0|＜δ,就有

类似地,可定义f关于集合D在点P0对变量y连续.

注1：定义1中,条目(i)和(iii)是熟知的,可参考文[1,2],条目(ii)由本文给出.按极限定义,f关于集合D在点P0连续等价于等价于f关于集合D在点P0对变量x连续等价于f(P0);f关于集合D在点P0相对于曲线段c连续

注2：当D=c时,定义1中的条目(i)和(ii)等价.一般地,定义1中的(i)蕴含(ii).方便起见,我们可以表述为：f在点P0连续蕴含相对连续.反之不然,参看下面的例子.

例1 定义二元函数

方便起见,记y=x为c.

注3：当c=D∩{(x,y0)|x∈R}时,f在点P0相对于曲线c段连续退化为对变量x连续;当c=D∩{(x0,y)|y∈R}时,f在点P0相对于曲线段c连续退化为对变量y连续.也就是说,f在点P0相对连续包含关于单变量连续作为特例.

注4：(i)一个二元函数关于某曲线段c的相对连续点必落在该曲线段c上.

(ii)存在二元函数f,使得它在除去某曲线段c以外的点都是间断点,而曲线段c上的点不仅是f相对于c连续的点,而且还是f的连续点.

例2 定义二元函数

设(x0,y0)∈R2,则

(a)当x0是有理数时,

(b)当x0是无理数时,

2 相对连续函数的性质

2.1 局部性质

若二元函数在某一点相对于某曲线段连续,则与连续的二元函数相类似,可以证明它在这一点沿曲线段的近旁具有一些局部性质.我们只以局部保号性为例证明,其余略.

定理1(局部保号性) 若二元函数f在点P0(x0,y0)相对于曲线段c连续,且f(x0,y0)＞0(或f(x0,y0)＜0),则对任何正数r＜f(x0,y0)(或r＜-f(x0,y0)),存在正数δ,使得对一切点P(x,y)∈c：l c(P,P0)＜δ,有f(x,y)＞r(或f(x,y)＜-r).

证明：只证明f(x0,y0)＞0的情形,f(x0,y0)＜0的情形可类似证明.取ε=f(x0,y0)-r,由f在点P0(x0,y0)相对于曲线段c连续,根据定义1(ii)知,存在δ＞0,只要P(x,y)∈c：l c(P,P0)＜δ,就有|f(x,y)-f(x0,y0)|＜ε=f(x0,y0)-r,整理后可得f(x,y)＞r.证完.

定理2(局部有界性) 若二元函数f在点P0(x0,y0)相对于曲线段c连续,则存在正数δ,使得f在{P(x,y)∈c：l c(P,P0)＜δ}上有界.

定理3(四则运算法则) 若二元函数f,g在点P0(x0,y0)相对于曲线段c连续,则它们的和,差,积,商函数

在点P0(x0,y0)也相对于曲线段c连续.

2.2 整体性质

定理4(有界性与最值性) 设c是区域D中的有限长闭曲线段(即包含端点),若f在c上相对于c连续,则

(i)f在c上有界;

(ii)f在c上能取到最大值和最小值.

证明：(i)假设f在c上无界,则对每个正整数n,必存在P n∈c,使得

由c是有限长的可推知﹛P n﹜是一个有界无限点列,由聚点定理知,﹛P n﹜存在收敛子列﹛P n k﹜,设.因为c是闭曲线段,所以P0∈c.由于f在c上相对于c连续,当然在点P0也相对于c连续,所以.这与不等式(1)矛盾.

注5：我们发现,定理4的结论及证明过程与文[1]的定理16.8无原则性变化.注2已经指出：当D=c时,定义1中的(i)和(ii)等价.因此定理4的条件完全可以理解为：f在有界闭集c上连续.文[1]112页指出：文[1]的定理16.8和定理16.9中的有界闭域可以改为有界闭集(证明过程无原则性变化).这样,定理4的结论成立.完全类似地,有相应的一致相对连续性定理.

定理5(一致相对连续性) 设c是区域D中的有限长闭曲线段,若f在c上相对于c连续,则f在c上一致相对于c连续.即对任意的正数ε,存在正数δ,使得任意的点P,Q∈c∶l c(P,Q)＜δ,有│f(P)-f(Q)│ ＜ε.

定理6(介值性) 设c是区域D中的有限长闭曲线段,若f在c上相对于c连续,若P1,P2为c上任意两点且f(P1)＜f(P2),则对任意μ∶f(P1)＜μ＜f(P2),必存在点P0∈c,使得f(P0)=μ.

证明：作辅助函数

由定理3知,F在c上也相对于c连续.易知F(P1)＜0,F(P2)＞0.设曲线段c(P1,P2)(即曲线段c中以P1,P2为端点的那一个子曲线段)的参数方程是

其中参数a对应点P1,参数b对应点P2.令

它是[a,b]上的一元连续函数,且F(P1)=G(a)＜0＜G(b)=F(P2).由一元函数根的存在性定理知,在(a,b)内存在一点t0,使得G(t0)=0.记x0=x(t0),y0=y(t0).则有P0(x0,y0)∈c使得F(P0)=G(t0)=0,即f(P0)=μ.证完.

注6：注2已经指出,f在区域D上连续蕴含着f在c上相对于c连续,反之不然.因此与文[1]定理16.10相比较,我们把定理的条件从连续性减弱为相对连续性.

3 应用

定理7(二重积分中值定理) 如果二元函数f满足以下条件：

(i)f在有界闭区域D上可积(二重积分);

(ii)f在P1,P2∈D分别取到最小值m和最大值M,且存在联结P1和P2的有限长曲线段c⊂D,使得f在c上相对于c连续,那么存在点(ξ,η)∈c,使得

这里S D表示积分区域D的面积.

证明：由条件(ii)可知,

由条件(i)并利用积分不等式性质得到

由定理6知,至少存在一点(ξ,η)∈c,使得这就证得(2)成立.证完.

注7：文[1]229页二重积分中值定理要求二元函数f在有界闭区域D上连续,我们的组合条件(i)和(ii)严格弱于连续性条件.参看下例.

例3 设D=[-1,1]×[-1,1].定义二元函数

易知f在D上不连续,故文[1]229页二重积分中值定理失效.而由二重积分的几何意义,易知f在D上可积,有在点P1(0,-1)和P2(0,1)分别取到区域D上的最小值0和最大值2.记c=﹛(x,y)∈D∶x=0﹜,f在c上相对于c连续.故定理7的两个条件满足,可推知存在一点(ξ,η)∈c使得.事 实 上,取.从而有