全国名校椭圆测试卷答案与提示

一、选择题

1.C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11.A 12.B 13.B 14.A 15.D 16.C 17.D 18.D 19.D 20.A 21.D 22.A 23.A 24.D 25.B 26.C 27.B 28.C

二、填空题

三、解答题

49.(1)依题意,可设椭圆C的方程为=1(a＞b＞0),可知其左焦点为F′(-2,0)。

故椭圆C的方程为

(2)假设存在符合题意的直线l,设其方程为

因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,解得-≤t≤。

另一方面,由直线OA与直线l的距离d=4,得,解得t=±2。

50.(1)根据c=及题设条件知

将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得或=-2(舍去)。

故椭圆C的离心率为。

(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点。

由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|。

设N(x1,y1),由题意知y1＜0,则：

代入椭圆C的方程,得。②

将① 及c=代入②得

解得a=7,b2=4a=28。

故a=7,b=2。

51.(1)因为直线l的方向向量为v=(1,),所以直线l的斜率k=。

又因为直线l过点(0,-2),所以直线l的方程为

因为a＞b,所以椭圆的焦点为直线l与x轴的交点,c=2。

又因为e=,所以a=,b2=a2-c2=2。

(2)若直线MN⊥y轴,则M、N是椭圆的左、右顶点。

52.(1)设△F1PF2的内切圆半径为r,则。

设|F1F2|=2c,则=bc。

(2)S=|AC||BD|。

上两式联立,解得a2=16,b2=4。

(2)设直线l：y=kx+1(k≠0),与椭圆的方程联立,消去y得：

由k不恒为0得t=4,即存在N(0,4),使得直线NA与直线NB关于y轴对称。

x2+(2b-4)x+b2=0。

因直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,所以Δ=(2b-4)2-4b2=0,b=1。

(2)当l与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为

当l与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1。

故两圆相切于点(0,-1),因此,所求的点T如果存在,只能是(0,-1)。

事实上,点T(0,-1)就是所求的点,证明如下。

当直线l垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,-1)。

若直线l不垂直于x轴,可设直线l：y

因此,TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,-1)。

所以在坐标平面上存在一个定点T(0,-1)满足条件。

55.(1)因 为BF1⊥x轴,得到点

椭圆C的方程是

56.(1)由题意2a=8,,解得a=4,b2=12。

椭圆C的方程为

(2)当PQ与x轴垂直时,P(0,2),Q(0,-2)

57.(1)设P(x,y),由得A(3x,0),。|AB|=3,得9x2+=9,P的轨迹E的方程为

(2)①当直线AB的斜率存在且不为0时,设AB的方程为y=kx+1。

②当AB与坐标轴垂直时也成立。

故直线MN恒过点。

(2)因为A(-2,0),B(0,1),所以kAB=。由CD∥AB,设直线CD的方程为y=+m。

由已知,得M(-2m,0),N(0,m)。

设C(x1,y1),D(x2,y2)。