含参一元二次不等式恒成立问题变式探究

■河北省秦皇岛市第一中学 张守业

含参一元二次不等式恒成立问题,历来是高考命题中的一个热点,这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现,一般难度中等或偏大。那么我们该如何解答这类问题呢?

【引例】若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2＞0的解集是R,则m的范围是( )。

A.[1,9)

B.(1,9)

C.(-∞,1]∪(9,+∞)

D.(-∞,1)∪(9,+∞)

解析：将原问题转化为不等式(m-1)·x2+(m-1)x+2＞0在R 上恒成立,解题时需注意对参数m取值的分类讨论。

由题意得不等式(m-1)x2+(m-1)x+2＞0在R 上恒成立。

①当m=1时,不等式为2＞0,不等式恒成立,符合题意。

②当m≠1 时,由不等式恒成立得解得1＜m＜9。

综上可知 ,1≤m＜9,所以实数m的范围是[1,9),故选A。

点评：不等式ax2+bx+c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：(1)a=0 时,b=0,c＞0；(2)当a≠0时,

【变式1】当a∈[-1,1]时,不等式x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立,则x的取值范围为( )。

A.(-∞,1)∪(3,+∞)

B.(-∞,1)∪(2,+∞)

C.(-∞,2)∪(3,+∞)

D.(1,3)

解析：令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则不等式x2+(a-4)x+4-2a＞0恒成立转化为f(a)＞0在a∈[-1,1]上恒成立。

所以实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞),选A。

点评：本题的参数a已知,要求自变量x的取值范围,采用了改变主元的解题策略,把原不等式看成关于a的一元一次不等式,于是通过构造关于a的一次函数来解决问题,这种解法也叫反客为主法。

【变式2】对于任意实数x,不等式(a-2)·x2-2(a-2)-4＜0 恒成立,则实数a的取值范围是( )。

A.(-∞,2) B.(-∞,2]

C.(-2,2] D.(-2,2)

解析：当a-2=0,即a=2时,原不等式变为-4＜0,显然不等式恒成立,符合题意。

当a-2≠0,即a≠2 时,因为对于任意的实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-4＜0恒成立,所以必须满足：

综上得,-2＜a≤2,故选C。

点评：不等式的恒成立问题,应和函数的图像联系起来。二次项系数含字母,应对二次项系数是否为0,分情况讨论。当二次项系数不为0时,结合二次函数图像考虑,根据题意图像应恒在x轴的下方,故抛物线开口向下且和x轴没交点,即判别式小于0。综合两种情况可得所求范围。

【变式3】设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,则实数a的取值范围为( )。

解析：因为满足1＜x＜4 的一切x值,都有f(x)=ax2-2x+2＞0恒成立,可知a≠0,所以,满足1＜x＜4的一切x值恒成立。因为,所以,实数a的取值范围是。

于是实数a的取值范围为a＞,故选D。

点评：本题主要考查二次函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题。不等式恒成立问题常见方法：①分离参数,a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立(a≤f(x)min即可)；②数形结合,f(x)＞g(x)(y=f(x)图像在y=g(x)的上方即可)；③讨论最值f(x)min≥0 或f(x)max≤0恒成立；④讨论参数。本题就是利用方法 ①求得a的取值范围的。

【变式4】函数f(x)=的定义域为R,则常数k的取值范围是____。

解析：因为函数的定义域为R,所以不等式kx2+kx+1＞0 恒成立。当k=0 时,不等式变为1＞0,显然恒成立,所以k=0符合题意；当k≠0 时,解得0＜k＜4。所以k的取值范围是[0,4)。

点评：求函数的定义域,应使得函数解析式有意义。分母中根式的被开方式大于0,转化成不等式恒成立,二次项系数为字母,讨论是否为零,不为零时,结合二次函数图像来解。

【友情提示】一元二次不等式恒成立问题的几个注意点：

(1)一元二次不等式的恒成立问题,可通过二次函数求最值来处理,也可通过分离参数,再求最值；

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数；

(3)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方。