抓住点和线 简化解几题

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

解析几何最基本的构成要素是点和线,同学们处理解析几何问题时,如果能抓住题目中某些特殊的点和线,那么不仅可以简化解题过程,而且能避免走弯路,达到事半功倍的解题效果。

一、抓住“定点”

例1已知两条直线l1：2x+y-1=0,l2：2x+y+1=0,则l1,l2的距离是_____。

解析：两直线平行,在直线l1上取一个定点P(1,-1),点P到直线l2的距离即l1与l2的距离：

点评：如果将此题改编为：“已知直线l1过点A(1,-1),直线l2过点B(1,-3),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为,求l1与l2的方程。”那么就可以用“直线与方程”的几种不同表示方法求解。

二、抓住“动点”

例2若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_____。

解析：由已知可得,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)。设点M为(x,y),则由两点间的距离公式可得,|MF|==10。将y2=4x代入,整理可得x2+2x-99=0,解得x=9或x=-11(舍去),故M到y轴的距离是9。

点评：此题难度不大,但是如果将M到y轴的距离误认为是求y值,那么就会步入歧途。

三、抓住“定比分点”

例3已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若,则|QF|=( )。

解析：由已知可得点F的坐标为(2,0),|PQ|=3|QF|。设点P的坐标为(-2,y0),点Q的坐标为,将点Q看成线段PF的定比分点,则由已知及定比分点坐标公式可得,整理得=8。所以|QF|=== 3,选B。

拓展：若将条件变为“FP=3FQ”,则可得2018 年清华大学自主招生试卷的第4 题：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若FP=3FQ,则|QF|=( )。

按照此解的解法可得|QF|=,选A。

四、抓住“垂直线”

例4设m∈R,过定点A的动直线x+my=0 和过定点B的动直线mx-ym+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是____。

解析：由题意可知动直线x+my=0 过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0 过定点B(1,3),两条动直线互相垂直,交点P(x,y)就是垂足,所以点P(x,y)在以AB为直径的圆上。注意到动直线x+my=0不含x轴,动直线mx-y-m+3=0不含直线x=1,所以,点P(x,y)不含点C(1,0),由此利用基本不等式,得|PA|·|PB|≤,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立,故|PA|·|PB|的最大值是5。

点评：在本题中“两条动直线互相垂直,交点P(x,y)为垂足”是解题得以顺利进行的关键,若从|PA|·|PB|=入手去处理,解题就思路受阻。