圆锥曲线中有关斜率类型的定值定点问题

■河南省禹州市第一高级中学 赵会贞

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型,难度较大,考查知识间的联系与综合,并且此类题一般计算量都较大,费时费力难以攻破,令很多同学望而生畏。

下面给出圆锥曲线中有关斜率类型的定值定点问题的求解方法,希望对同学们的学习有所帮助。

一、常用的结论

已知点P(x0,y0)是椭圆=1(a＞b＞0)上一点,过点P作两条直线交椭圆于A、B两点,则有以下结论：

①kPA+kPB为定值⇔直线AB过定点；②kPA·kPB为定值⇔直线AB过定点。

二、应用举例

例1(2017 年全国新课标Ⅰ卷)已知椭圆=1(a＞b＞0),四点P1(1,1),P2(0,1)中恰有三点在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l不经过P2点且与椭圆C相交于A、B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：直线l过定点。

解析：(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点。

(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2。

如果直线l与x轴垂直,设l：x=t,由题设知t≠0,且|t|＜2,可得A,B的坐标分别为。则k1+k2==-1,解得t=2,不符合题意。

从而可设l：y=kx+m(m≠1)。

将y=kx+m代入+y2=1得：

例2已知椭圆=1(a＞b＞0)过点P(2,1),且离心率为,过点P作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点(A、B不与点P重合),求证：直线AB过定点,并求该点的坐标。

例3(2019 年全国新课标Ⅱ卷)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为。记M的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程,并说明C是什么曲线。

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G。

(i)证明：△PQG是直角三角形；

(ii)求△PQG面积的最大值。

三、小结

圆锥曲线中的直线斜率类型的定点、定值问题是高考命题的热点问题,也是圆锥曲线的难点问题,而此类问题隐藏着很多优美的几何性质及圆锥曲线的统一性,很好地体现了数学美,同时在性质的探究过程中能培养同学们的猜想、论证、类比的数学思想和能力。