基于微分方程的主动机动陆基反舰导弹制导算法设计

黄嘉宇

(南京理工大学 电子工程与光电技术学院，江苏 南京 210094)

1 问题提出

陆基反舰导弹作为一种非对称性武器，能够有效威慑敌方大型军舰。随着科技不断进步，水面舰艇防护能力和反导导弹防御能力、抗毁伤能力不断增强，客观上要求反舰导弹增强突防能力。如何设计一种能够有效规避敌方拦截导弹，且能有效利用导弹的内部能量进行机动的反舰导弹，成为我国亟待解决的问题。

本文以航母作为假想敌，在考虑敌方使用反导系统的情况下，根据模拟仿真静态、动态状况下的导弹运行轨迹，设计主动机动陆基反舰导弹的运行轨迹算法。在这个设计过程中，需要解决下面3个问题。

问题1：反舰导弹打击航母的静态轨道模型。即当t=0时，导弹初始位置与航母坐标之间的轨道曲线模型。

问题2：在给出航母航向和速度的条件下，设计导弹在飞行中段的动态模型方程和算法步骤。通常以发射段的抛物线顶点作为中段起始点。

问题3：分析导弹打击航母的轨道曲线误差和命中率。

在本文中，只讨论前面两个问题。

2 问题分析

2.1 问题1分析

问题1是解决所有问题的关键，必须分析导弹打击航母的运行轨迹。导弹运行过程分为发射段、中段和末段。在采用垂直发射方式时，导弹飞行轨迹受到推力、气动阻力、重力、控制力等因素影响。在末段100km左右，导弹开始自主搜索目标，并对目标进行识别和实施打击;在中段飞行受到控制平台的指令控制。本文着重分析导弹在中段运行的轨道曲线。在设计运行轨道时，还必须考虑敌方反导系统的拦截问题。在敌方反导系统不实施拦截的情况下，导弹将从中段的起点处直接到达末段的起点处。在敌方拦截导弹的情况下，敌方通过预判反舰导弹的飞行轨迹，在反舰导弹飞行路线上设置爆炸区域，以拦截反舰导弹。可通过分析爆炸区域范围，对反舰导弹进行指令控制，并调整飞行轨道，以避开爆炸区域。在满足能量守恒的情况下，利用神经网络算法计算反舰导弹的最佳飞行轨迹。

2.2 问题2分析

在给出航母航向和航行速度的条件下，将反舰导弹的轨迹投影在海平面上，投影曲线各处的切线方向始终指向航母。假设水平方向的速率与飞行速率均不发生变化，控制垂直方向的速度，使反舰导弹避开威胁区域，并对预测点的算法进行修正。规避反导导弹的方式是改变Z轴方向的速度。解决问题2的实质是分析反舰导弹如何追踪直线行驶的航母。

3 模型假设

假设反舰导弹发射车的初始位置坐标为E120°30.0＇N27°30.0＇， 这是用反舰导弹打击航母的坐标系原点。由海洋侦察卫星与高空长航时无人机侦察获得的信息传输给陆基导弹发射指挥中心，并计算和确定航母的初始位置坐标H(X0，Y0)为 E123°45.0＇N25°39.0＇。 测得航母当前的信息包括航母舰长为335m、航速为32节、航向始终为正南方向。航母动态坐标数据H(Xt，Yt)由卫星和无人机动态提供给指挥中心，动态监控数据记为 Hi(Xi，Yi)，i=1，2，...n。指挥中心利用这些数据建模，计算航母航行轨道、反舰导弹打击航母的动态运行轨道。

将反舰导弹运行轨道曲线划分为发射段、中段、末段[4]。发射段为抛物线，发射速度为500m/s。中段可设计为不同的飞行轨道，由反舰导弹的飞行参数控制。末段最高速度可达到1000m/s，反舰导弹末段飞行时间不超过20s。反舰导弹运动的三段曲线的衔接点光滑，曲线连续且存在一阶导数。

在考虑敌方反导系统拦截的条件下，期望给出难以拦截的供给曲线，即反舰导弹运行轨道曲线。由地面指挥中心提供反舰导弹中段轨道制导数据。在反舰导弹运行末段，由反舰导弹自主攻击航母目标。

依据上述分析，提出5个模型假设。一是若无敌方反导系统干扰，则反舰导弹不做主动机动。二是反导导弹的爆炸范围为球形，且反舰导弹在该区域飞行将被反导导弹摧毁。三是反舰导弹接收地面指挥中心提供的指导数据信息不受电磁场影响。四是航母发射反导导弹的时间间隔固定。五是反舰导弹在水平面上进行机动时，靠尾翼调节，消耗的能量极小。

4 模型的建立与求解

为了更好地构建与分析模型，将涉及的符号在表1中进行说明。

表1 符号说明

4.1 静态模型的建立与求解

4.1.1 发射段模型建立

在发射段反舰弹道导弹主要受推力、气动阻力、重力、控制力的影响，因此可建立下面的表达式：

对于仿真初始条件，采用原地球模型，建立以发射点为原点的天东北(UEN)坐标系[1]。假设反舰弹道导弹的推进剂(燃料)质量Mf=2900kg，弹头质量Mb=3000kg，比推力Isp=320s，弹道系数β=0.03，关机点时间tbo=65。在弹道导弹发射20s后，开始进入转弯段，至瞄准结束，弹道旋转至仰角η=28，方位角α=15，则仰角和方位角的角速度ωn=0.00469π，ωα=0.00185π。 令反舰弹道导弹发射点的坐标为(0，0，0)km。模拟仿真发射段的运行曲线近似为抛物线。在所有发射条件都相同的情况下，反舰导弹发射段末端的高度为一定值。

4.1.2 导弹发射中段模型建立

计算反舰导弹燃料质量的减少量、飞行角度、飞行距离、飞行时间等之间的函数关系，通过控制姿态、火箭燃烧时间来控制导弹飞行状况。对反导导弹的运动轨迹进行预测，确定可能产生威胁的区域。通过调整火箭姿态，改变轨迹，避开反导导弹威胁区域，以进入预定反舰导弹末段轨迹的起点。

4.1.3 调整火箭姿态

对发射段进行静态分析，陆基导弹基井与航母的方位角、距离为固定数值[2]。反舰导弹在中段飞行过程中，速度vx与vy保持不变，即方位角θ1不发生改变。为了使反舰导弹具备突防能力，通过改变vz的大小来改变俯仰角θ2，以调整导弹的飞行轨迹。火箭燃料的燃烧速率不发生变化。

根据z轴方向上的动量守恒可得：

在反舰导弹某一个变轨时期的初速度为v0，M的初始值为M0，变速时间为t。则：

在变轨过程中，z轴距离为(设变化总时间为t1，且都从0时刻开始计时)

在变轨过程中，x与y在水平上的距离为：

图1 垂直调姿示意图

4.1.4 爆炸点危险区域的预测

采用神经网络方法预测爆炸点。根据反舰导弹与航母的直线距离，以及敌方发射反导导弹的固定时间间隔Tt。输入反舰导弹坐标xy，输出反导导弹的水平与垂直距离为De，以此建立反舰导弹轨迹与反导导弹轨迹的函数方程，进而预测敌方拦截点。经过一定时间训练的神经网络，可预测反导导弹轨道。以反舰导弹轨道与反导导弹轨道的交点为球心的立体球形范围内为最大危险区域。由此可预先调整反舰导弹轨道。建立的神经网络图如2所示。

图2 神经网络示意图

将隐层节点数的个数设置为3，其中隐层、输出层的传递函数分别为tansig和purelin，运用trainim方法进行训练，建立神经网络结构。

4.2 动态模型的建立与求解

建立在水平面上的追踪模型。反舰导弹要规避反导导弹的爆炸威胁区域，可通过在z轴上进行主动机动来实现。分析在水平面即x、y轴上导弹追踪问题，分析航母向南直线行驶的过程。设导弹基地为原点 O（0，0），x 轴指向正西方，y 轴指向正南方。

当 t=0 时，反舰导弹位于 O，航母位于点（0，H），设导弹 t时刻的位置为 P（x（t），y（t）），则：

在第t时刻，航母的位置为M（vet,H），其中ve=59.264km/s。由于导弹轨迹的切线指向航母，即直线PM的方向就是反舰导弹轨迹上点P的切线方向，故有：

其初始条件为 x（0）=0，y（0）=0，构成了一个关于时间的变量t的一阶微分方程组的初值问题。计算得：

两边对t求导得：

即有：

设导弹击中航母于B(L，H)，以y=H代入上式得：

接下来用数值方法进行求解。取时间步长Δt=t,对应 tk=kt时导弹轨迹上点的坐标(Xk,Y（k）)，则Euler格式为 ：

4 总结

在设计陆基反舰导弹定点打击运行轨迹时，本文分析了发射段和中段的运行轨迹。在发射段，采用动力学模型，分析弹体受力，得到近似抛物线的发射轨迹;在中段，采用神经网络算法，通过双方导弹的运动坐标，对神经网络进行训练。反舰导弹轨迹可能要经过反导导弹的防御爆炸危险区。在竖直平面内分析火箭喷火时间、角度与敌方导弹防御区距离之间的关系，控制反舰导弹的飞行轨迹，以躲避敌方导弹的威胁。

当航母以固定速度行驶时，必须分别分析发射段与中段的飞行问题。由于航母速度低于反舰导弹速度，在发射段运用问题1的模型分析;在中段，假设反舰导弹在水平上的速度分量不变，在x轴与y轴上，通过建立微分方程，在水平方向上反舰导弹始终指向打击目标，将空间问题转化为二维坐标问题。同时，在z轴上，采用问题1中建立的模式进行机动。