思维可视化：让数学学习深度发生

刘美娟

摘  要：思维可视化，有助于学生对数学知识的理解、记忆、应用。画图是可视化的表征策略，“动手做”是可视化的具身策略，而“脚手架”则是可视化的内化策略。思维可视化，能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养，进而让学生数学学习深度发生。

关键词：小学数学;思维可视化;可视化策略

数学是思维的体操，然而思维却犹如一个“黑匣子”是不可视的。如何让学生的数学思维可视化，进而能让教师触摸到学生思维的脉搏，应当是一个有意义、有价值的研究话题。“思维可视化”是指借助一系列图示技术，让学生的数学思维清晰地呈现出来，从而让学生的数学思维有迹可循、有据可探。思维可视化，有助于对数学知识的理解、记忆、应用。思维可视化，能让学生的数学学习深度发生。

■一、画图：可视化的表征策略

“图形与符号”是思维可视化最为常用、最为简洁、最行之有效的策略。在数学教学中，教师要根据学生的年龄和心理特征，根据学生的认知倾向、认知特质，结合具体的数学教学内容，用图形和符号来助推学生的数学思考、探究。在小学数学教学中，“画图”曾经作为一种解决问题的策略来进行专题学习。但作为一种可视化的学习策略，应当从低年级就开始培养学生的画图方法、能力、策略等。

从画图的种类上看，图形可以分为示意图、概念图、流程图、思维导图等。借助图形，一方面可以让问题的意识、内涵、意蕴等直观表征出来，这是一个“从外到内”的转化过程;另一方面可以让学生的思维直观、生动地表征出来，这是一个“从内到外”的外化过程。比如教学“间隔排列”（苏教版三年级上册），教师就必须引导学生画图，一方面将各种难以理解的内容可视化，比如传统的“植树问题”“公交车发车问题”“时钟报时问题”“锯木头问题”等。当学生多次通过画图来表征题意之后，学生就能在心中建立一个“间隔排列”的模型，清晰地表达“中间物体”与“两端物体”，并且感悟到“两端物体比中间物体多一个，中间物体比两端物体少一个”。通过画图，学生才能理解一些抽象的动作。如“时钟报时问题”，钟摆在报时之时，每个“声响”之间总是会隔着一段时间，这个“间隔着的时间”就是学生数学理解的难点。再如，在“锯木头问题”中，“锯木的次数”和“锯木的段数”之间的关系也是学生数学理解的难点。借助画图这一可视化的策略，就能助推学生的数学理解。

图形是一种最为基本的可视化的学习工具，能助推学生对抽象数学知识的直观理解。同时，画图还能让学生将内隐的数学思维过程外显化，从而便于学生的数学对话、交流、展示。对于学生的画图，教师应当允许学生涂鸦，只要学生能将题意、将自己的思路表征、呈现出来即可，而不必过度苛求学生的画图美观。当然，教师也不必放松要求，而应循序渐进，引导学生拾级而上，渐次掌握画图的技巧、规范要求等。

■二、动手做：可视化的具身策略

可视化的策略不仅仅包括画图，更包括“动手做”。所谓“动手做”，就是充分调动学生的多种感官，引导学生展开具身性的活动。学生的“动手做”活动，不仅指简单的操作活动，而且更包括观察、演示、实验、实践等。“动手做”的过程，既是学生动脑的过程，又是学生动手的过程，是手脑协同认知。借助“动手做”，能将学生内隐的思维外化出来，同时将外在的问题融入其中，由此助推数学问题得以解决。

实施“动手做”的活动，要警惕将之异化为简单的、机械的、盲目的“操作”，要警惕学生沦落为“操作工”，而应将学生的思维融入其中，让“思维成为外化的活动”，让“活动成为内隐的思维”。只有这样，才能让“动手做”活动成为一种可视化的思维活动。比如教学“长方形和正方形的周长”（苏教版三年级上册），有教师认为“周长”这一概念比较简单，因而就蜻蜓点水地说明一下“周长就是一周的长度”，至多再让学生跟着说明一下;或者让学生简单地看一些图形的周长，然后就引导学生探究长方形、正方形的周长，其结果可想而知。站在学生立场上，“周长”不仅是一个“数学概念”，而且更是一个“数学表象”。学生需要的不仅是对长方形周长的静态描述，更需要对长方形周长的动态建構。教学中，笔者首先让学生沿着物体的边沿比画，然后让学生沿着平面图形的边沿将平面图形剪下来，接着再让学生对平面图形的周长描红，等等。通过这样的“一比”“一剪”“一描”等，深化学生对“边线”的认知，对“周长”的理解。

“动手做”的活动能将抽象的、静态的数学问题具体化、动态化，从而将无形的数学理解有形化。在这个过程中，学生内隐的数学思维获得了外在“动手做”活动的有益支撑。通过“动手做”这一可视化活动，不仅能提升学生数学学习力，而且能积淀学生的数学基本活动经验，发展学生数学核心素养。

■三、脚手架：可视化的内化策略

“脚手架”是学生更可视化学习的内化策略。在数学教学中，“脚手架”的类型很多，比如学生的“草稿纸”“活动记录单”“口语表达”，等等。借助“脚手架”，学生能对数学问题进行表征并积极内化，从而将外在的数学问题转化为学生内在的心理图像。在教学中，当我们遇到了难点、疑点等内容时，当我们需要整理相关知识内容时，“脚手架”将发挥重要的作用。

在数学教学重难点分散处、在思维拓展处，如果没有“脚手架”，学生的数学学习难免陷入被动化、机械化的学习“窠臼”。而有了“脚手架”（如表格、图形、语言等载体），学生的数学学习就能从被动转向主动、从机械转向灵动。在数学教学中，“脚手架”既可以用来“先行组织”，又可以用来“反思整理”。“脚手架”犹如一个“拐杖”，能助推、支撑学生的数学学习。比如复习“平面图形的面积”（苏教版六年级下册）一课，为了助推学生厘清数学知识的来龙去脉，笔者运用“知识结构图”引导学生复习，从而构建了一个强大的经验交流场、思维碰撞场。学生头脑中原本杂乱的、零散的数学知识获得了集结、整合。学生不仅洞察了图形面积的源流、来龙去脉，而且根据图形的脉络，积极主动地建构图形面积的推导过程，从中深刻感受、体验到图形面积的转化思想、方法。以长方形面积为基础，学生渐次推导出平行四边形、正方形、三角形、梯形、圆等的面积。结构图，作为学生数学学习的“脚手架”，将数学知识清晰、稳固、深刻地植根于学生的心中，从而让数学知识融会贯通。围绕“结构图”，学生不仅展开积极的思考、探究，而且展开积极的表达。多样性的表达，促进了学生对数学知识的个体性内化。

在小学数学课堂教学中运用思维可视化策略，有助于提升学生的思维能力，提升数学课堂教学质量。可视化的工具，让我们“看”到了学生的思维，触摸到了学生的思维脉动。灵活应用思维可视化的技术、工具，不仅能引导学生主动建构知识，而且能积淀学生的数学活动经验，提升学生的数学学习能力，发展学生的数学核心素养！