立足高考 领悟自招(一)
——自主招生考什么和怎么考动力学

■吴 俊

进入名校是每位学子的追求，随着高校选拔方式的变革，很多同学通过自主招生进入名校已成为一条途径，但是通过这条途径进入名校并不简单，因为自主招生不像高考，高考有教材、有考纲，还有每年的高考试题作为标杆，而自主招生的复习备考不仅时间短，而且需要自己独立准备。下面就从备战高考的角度出发，来谈自主招生考什么、怎么考，尽可能地帮助同学们顺利对接。

一、自主招生考什么

基于高考角度的自主招生常考内容的汇总如表1。

表1

从表1可以看出，自主招生试题的相当一部分内容都与高考命题的主干知识有交集，考生在复习备考中要一一排查，看看这部分内容是否掌握。抓高考促自招，反过来也可以通过备战自招应对高考创新问题。与高考命题的主干知识相同的这部分内容是可以通过针对性复习取得高分的内容，因此同学们理应将其放在复习备考的重中之重。

二、自主招生对动力学的考查

1.牛顿运动定律与图像的综合。

例1(32届全国中学生物理竞赛预赛)水平力F方向确定，大小随时间变化的图像如图1a所示。用力F拉静止在水平桌面上的小物块，在F从0开始逐渐增大的过程中，物块的加速度a随时间变化的图像如图1b所示。重力加速度大小为10m/s2。由图示可知，物块与水平桌面间的最大静摩擦力为____；物块与水平桌面间的动摩擦因数为____；在0～4s时间内，合外力对物块所做的功为_____。

图1

解析：由F-t和a-t图像可知，在t=2s时，物块开始运动且加速度a1=1m/s2，对应的拉力，所以物块与水平桌面间的最大静摩擦力为6N。根据2s和4s时刻对应的拉力和加速度，由F1-μmg=ma1，F2-μmg=ma2，解得m=3kg，μ=0.1。根据加速度—时间图像与横轴所围面积表示速度变化量可知，在0～4s时间内，物块的速度变化量为，即物块的末速度v=4m/s。根据动能定理可知，合外力对物块所做的功。

答案：6N 0.1 24J

点评：牛顿运动定律是高考的重点，特别是牛顿运动定律和图像的综合，在最近5 年的高考全国卷中出现过4 次，自主招生笔试卷中也有对应的试题。解决动力学与图像的综合问题的思路如图2所示。

图2

2.传送带(板块)模型。

图3

例2(华约)如图3所示的传送带装置与水平面间的夹角为θ，且tan。传送带的速度v=4 m/s，动摩擦因数μ=，将一质量m=4kg的小物块轻轻地放置在传送带的底部，已知传送带的底部到顶部之间的距离L=20m。(取g=10m/s2)

(1)求物块从传送带底部运动到顶部的时间t。

(2)求此过程中传送带对物块所做的功。

图4

解析：(1)对物体进行受力分析，如 图4 所 示，则N=。根据牛顿第二定律有f-mgsinθ=ma，解得，故物块在传送带上做加速运动的时间t1=，做加速运动的距离。此后物块随传送带一起做匀速运动，做匀速运动的距离x2=L-x1=18m，做匀速运动的时间。物块从传送带底部运动到顶部的总时间t=t1+t2=5.5s。

(2)法一：由(1)问可知，物块在做加速运动的过程中，摩擦力为滑动摩擦力f=mg=40N，此过程中摩擦力做的功W=fx1=80J；物块在做匀速运动的过程中，摩擦力为静摩擦力，此过程中摩擦力做的功W'=f'x2=432J。物块从传送带底部运动到顶部的整个过程中，传送带对物块所做的功W总=W+W'=512J。

法二：根据功能关系可知，物块在整个过程中所获得的机械能应等于传送带对物块做的功，即+mgLsinθ=512J。

点评：传送带(板块)模型是高考命题的热点之一，涉及的知识点有匀变速直线运动、牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等主干知识；在自主招生命题中，传送带(板块)模型也是考查的内容之一，且考查角度、难度等与高考试题基本相仿。求解传送带(板块)模型中的相对滑动产生的能量问题的方法如图5所示。

图5

3.动量守恒定律和能量守恒定律的综合应用。

例3(北大保送)如图6所示，光滑平面上，两个相隔一定距离的小球分别以大小为v0和0.8v0的速度反向匀速运动，它们中间另有两个小球(小球1和小球2)将一弹簧压紧，小球1和小球2的质量分别为m和2m，弹簧的弹性势能为Ep。现将弹簧由静止释放，求：

图6

(1)小球1和小球2各自的速度。

(2)若小球1能追上左边的以速度v0运动的球，而小球2不能追上右边以速度0.8v0运动的球，求m的取值范围。

解析：(1)由小球1、小球2和弹簧组成的系统的机械能守恒，则，由动量守恒定律得mv1-2mv2=0，两式联立解得

(2)根据题意可知v1＞v0，v2≤0.8v0，结合(1)问得。

点评：在处理动量守恒定律和能量守恒定律的综合应用问题时，首先要明确研究对象，再判断研究对象是否满足守恒条件。应用能量守恒定律时要分析能量转化的过程，且以流程图的呈现更利于列出能量方程。自主招生笔试试题对动量守恒定律成立条件的考查与高考命题相同，即在使用时要注意矢量性、同时性、相对性、普适性这“四性”。另外，在处理追碰问题时要注意系统动量是否守恒、系统能量不能增加，追碰时要注意判断追与被追者速度大小的比较，即要判断运动的合理性。

图7

例4(卓越)如图7所示，可视为质点的三个物块A、B、C的质量分别为m1、m2、m3，三物块间有两根轻质弹簧a、b，其原长均为L0，劲度系数分别为ka、kb。弹簧a的两端与物块连接，弹簧b的两端与物块只接触不连接。弹簧a、b被压缩一段距离后，分别由质量忽略不计的硬质连杆锁定，此时弹簧b的长度为L，整个装置竖直置于水平地面上，重力加速度为g。

(1)现解开对弹簧a的锁定，若当物块B到达最高点时，物块A对地面的压力恰为零，求此时物块C距地面的高度H。

(2)在物块B到达最高点的瞬间，解除弹簧a与物块B的连接，并撤走物块A与弹簧a，同时解除对弹簧b的锁定。设弹簧b恢复形变时间极短，此过程中弹力冲量远大于重力冲量，求物块C的最大速度的大小v3(弹簧的弹性势能可以表示为，其中Δx为弹簧的形变量)。

(3)求物块C自弹簧b解锁瞬间至恢复原长时上升的高度h。

解析：(1)解除弹簧a的锁定后，在弹簧a的作用下，物块B、C上升，恢复原长后，弹簧继续伸长，当物块B达到最高点时，物块A对地面的压力为零，设此时弹簧a的伸长量为ΔLa，由共点力平衡条件和胡克定律得kaΔLa=m1g，由H=ΔLa+L0+L得H=。

(2)在解除弹簧b的锁定的瞬间，弹簧恢复形变所需要的时间极短，弹力远大于重力，因此此过程可视为动量守恒，此时物块B达到最高点，因此物块B与C的速度均为0。设在弹簧b恢复原长时，物块B的速度大小为v2，取竖直向上为正，由动量守恒定律得m3v3-m2v2=0。因为弹簧b恢复原长所需要的时间极短，此过程中弹力的冲量远大于重力的冲量，所以系统的重力势能不变，由机械能守恒定律得(L0-L)2，解得。

(3)设弹簧b解锁瞬间至恢复原长所需要的时间为Δt，物块B高度的变化量为h'，则，由题意知h+h'=L0-L，解得。

点评：解答本题时要注意审题，像题干中的“弹力冲量远大于重力冲量”，说明了动量守恒。求解含弹簧的多体、多过程问题时，重在过程分析，弹力做功除非像本题中告之公式，否则需要采用转化法处理。求解弹簧参与的力的问题，要注意弹簧的形变是拉伸还是压缩，像本题中高度的变化情况就需要借助于过程分析判断弹簧的形变情况来确定。