巧用棱的平行线处理无棱二面角问题

摘  要：二面角一直是高考中立体几何的重点和热点，而无棱二面角是其中的难点，从空间思维的角度出发，怎样合理找出二面角的平面角是处理二面角问题的关键。

关键词：二面角，无棱二面角，平行线

【正文】

求二面角的大小一直是高考的热点，自从立体几何引进空间向量后，现在的学生大都从直接建立空间直角坐标系来求解角度问题，从而缺少了对空间图形的读图能力。而在综合法中合理找出二面角的平面角成了解决这个问题的关键。遇到无棱二面角问题时，由于没有给出二面角的公共棱，给同学们找平面角带来很大的困难。下面就巧用公共棱的平行线处理无棱二面角问题提出我的一点想法。

理论支持：

1、如果二面角其中一个半平面内有一条直线平行于另一个半平面内的一条直线，则这两条直线都平行于二面角的棱。

2、如果有一个平面垂直二面角的公共棱，则该平面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。

结论：

如果二面角的一个半平面α内有一条直线α平行于另一个半平面β内的一条直线b，若存在一个平面γ，使得，则与二面角的两个半平面的交线AC和BC所成的角就是二面角的平面角。

也就是说，遇到无棱二面角时，可以考虑先找到一組平行线（两个半平面各找一条直线），再找到一个平面垂直其中一条直线，这时候这个平面与二面角的交线所成的角就是所求二面角的平面角，通过解三角形可计算出答案.

点评：作有公共点的无棱二面角，可以考虑从公共点出发作与棱的平行线垂直的平面，从而作出二面角的平面角。

当然，求二面角的方法还有很多，这种方法也仅针对能找到棱的平行线，且需要有一个平面垂直该直线，有一定的局限性。在近几年的高考复习中也为我们提供了一个好的方法选择。

参考文献

[1]  刘绍学. “普通高中课程标准实验教科书·数学2（必修A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2010.

[2]  何建民.例谈无棱二面角的求法[J].数学教学研究月刊 2005，（11）.

作者简介：李松青（1981-），男，广东韶关，汉族，中学一级，本科，研究方向：高中数学教育。