一类半线性抛物方程解的初值问题研究

陆求赐 张宋传 王学彬

(武夷学院 a.人文与教师教育学院；b.数计学院，福建 武夷山 354300)

半线性抛物方程其解可用于描述解释一些自然现象：如质量扩散、能量传输、大气流动等。Kaplan[1]，Fujita[2]开创性工作之后，很多的数学学者开始对半线性抛物方程解的爆破现象、解的整体存在性以及熄灭性等方面的性质进行了大量的研究并得到了大量成果。受Fujita、Kaplan等研究工作的启发，考虑如下半线性抛物方程的初边值问题：

1 预备知识

为了下文需要，这里需要先介绍几个函数空间，还有爆破的定义和一个嵌入定理与一个不等式。

由以上几个空间的定义，可以得到如下嵌入定理：

嵌入定理(Sobolev嵌入定理)：

格林公式利用分部积分很容易推导出。

2 解的存在性与爆破

结合上面几个空间的定义与解的爆破定义，本部分证明方程(1)在一定条件下，其解在有限时刻爆破。

3 解的渐进状态

解的渐进状态是指当时间项t时解的变化状态，解的渐进性态一般与非线性项f(u)的形式有关。下面研究一下当方程(1)满足一定条件时其解的渐进行为。

4 结语

处理半线性抛物方程常见的方法有上下解方法、能量方法、凸性方法等。本文主要借助能量方法和格林公式等处理了一类半线性抛物方程解的爆破性质和渐进性质。