概率考点类型追踪

雷业红

“统计与概率”是数学中考的必考内容，同学们在考试中需要运用概率知识正确评判一些规则是否公平合理，还需要理解事件发生的频率与概率之间的关系。下面用四个类型来归纳，并对解题方法进行适当的分析，供同学们学习时参考。

类型一概率的意义

例1下列说法正确的是（

）。

A.体育课上小明参加篮球投篮游戏，因为投篮一次，只有两种可能的结果，不是“投中”就是“未投中”，所以小明投中的概率为1/2

B.某篮球运动员投三分球的命中率是12%，则当他投了11个三分球均未投进时，第12个一定投进

C.从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为1/3

D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等

【策略】本题考查的是概率的意义。如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m/n。概率是反映事件发生的机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生。

【解答】A：小明投篮投中的概率

B：投篮命中率只是投中可能性的大小，每次操作只与命中率有关，与实际结果没有直接的关系，故错误;

C：有6种等可能的结果：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，甲）、（乙，丙）、（丙，甲）、（丙，乙），甲被选中的概率为三，故错误;

D：正确。故选D。

类型二用列表或画树状图求概率

例2

（2019·江苏泰州）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动，该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”“书法展示”“器乐独奏”3个项目（依次用A、B、C表示），第二阶段有“故事演讲”“诗歌朗诵”2个项目（依次用D、E表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成。用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中B、D两个项目的概率。

【策略】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率。先根据题目要求列出所有可能出现的结果，再找出要求事件的结果数目，最后用概率公式求出概率。解决此类问题还要知道：列举法也可以列出所有可能出现的结果，有时还要关注是放回试验还是不放回试验。

【解答】用列表法得出所有可能的结果如下：

或者画树状图得出所有可能的结果如下：

兩种方法都是有6种等可能的情况，恰好抽中B、D两个项目的情况只有1种，

P（恰好抽中B、D两个项目的情况）=1/6。

类型三公平性的判断

例3在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数竽为n。

（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果;

（2）若m，n都是方程x2-5x+6=0的解，则小明获胜;若m，凡都不是方程x2-5x+6=0的解，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？

【策略】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，同时又考查了一元二次方程的解以及解法。（1）根据题意列出所有可能的结果;（2）先解一元二次方程，在（1）的所有等可能的结果中找出符合一元二次方程的解的情况，以及都不是一元二次方程的解的情况，再利用概率公式计算，最后通过比较概率大小进行判断。

【解答】（1）用列表法得出所有可能的结果如下：

画树状图得出所有可能的结果如下：

（2）m，n都是方程x2-5x+6=0的解，

m=2，n=3，或m=3，n=2，

由树状图得：共有12种等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有（2，2）、（3，3）、（2，3）和（3，2）共4个，m，n都不是方程x2-5x+6=0的解的结果有（1，4）和（4，4）共2个，小明获胜的概率为4/12-1/3小利获胜的概率为2/16-1/6，小明获胜的概率大。

类型四利用频率估计概率

例4（2019·湖南长沙）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程。以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：

根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_________（结果保留小数点后一位）。

【策略】本题考查的是用事件发生的频率来估计概率。生活中，能够直接通过计算求得发生概率的事件是有限的，在很多情况下，频率随着试验次数的变化而变化。我们要计算出每次“摸出黑球”的频率，再按题目要求用频率作为概率的估计值。

【解答】由表中数据可判断“摸出黑球”的频率在0.4左右摆动，利用频率估计概率，可估计“摸出黑球”的概率是0.4。

以上带着同学们归纳了解决概率问题的策略方法，从中发现，正确解题取决于对概率核心知识的理解和掌握。因此，同学们在平时要重视对课本上概率核心知识的学习，在解决概率问题时，只要认真思考，细细体会题意，便能正确解题。当然，概率的题型相对来说变化不大，同学们若能善于总结，学习时就会起到事半功倍的效果。

（作者单位：江苏省仪征市月塘中学）