集合论多宇宙观与形式主义

裘江杰

1 引言

一般认为，诞生于一百多年前的公理集合论有着两重身份（[22]）：其一，它是数理逻辑的四大分支之一1数理逻辑的另外三个主要分支是模型论、递归论以及证明论。，因此也是数学的一个专门领域；其二，常规数学所研究的对象可以被表示为各种集合，所使用到的方法以及预设也可以溯源到集合论公理，概言之，许多数学命题可以被视为各种集合论公理系统2最典型的集合论公理系统是ZFC，此外，在研究中还会涉及到ZFC 的各种子系统、扩张系统，甚至与ZFC 不一致的系统，比如ZF+AD。中的定理，因此主流的观点也把它当作数学的基础。

数学是关于什么的？数学命题在什么意义上为真为假？对于这样一些问题的不同回答可以粗略地对应到从实在论到反实在论的谱系中的不同的位置，那么，基于公理集合论，则产生了对集合对象、集合宇宙的客观实在性不同的本体论立场。

数学家们对关于数学对象以及集合对象的实在性问题的初始反应通常是朴素的，他们会自然认为他们自己以及其他严肃的数学家所研究的对象是独立于人类心智而客观存在着的，这样一种观点属于传统的数学实在论。

不过，从学术史的视角反观数学哲学中实在论问题争论的历史发展，情况就要变得复杂了。实际上，呈现在我们面前的更可能是部分实在部分反实在观；比如，在数学史上，像负数、虚数这样一些概念在它们被引入之初都曾经被视作为本……