地球自转对平抛运动的影响

林建福

(金秀瑶族自治县民族高中 广西 来宾 545799)

地球既有自转又有公转，所以是非惯性参考系.公转的角速度很小，且所产生的惯性离心力几乎与太阳的引力相抵消.自转的角速度约为7.3×10-5rad/s，虽然比较小，但却产生了一些可以观察到的现象，如贸易风、轨道磨损、自由落体偏东等现象[1].本文研究在考虑地球自转情况下的平抛运动.

1 考虑地球自转情况下的平抛物体运动微分方程

为了考虑地球转动对运动物体的影响，建立如图1所示的坐标系：以地面上O点为坐标原点，与该处经线相切向南为x轴正向，沿着纬线切向向东为y轴正向，沿O点处铅直向上为z轴正向.研究质点相对于地球的运动时，可以只考虑科里奥利力的效应，其动力学方程可以写为[1]

ma′=F-mgk-2mω×v′

(1)

由式(1)可以得到考虑地球自转时平抛运动的微分方程分量式为

(2)

(3)

(4)

图1 地球自转对平抛运动的影响

(5)

(6)

(7)

将式(5)、(6)、(7)代入式(2)、(3)、(4)，整理可得

4ω2[xsinλ+(z-h)cosλ]sinλ

(8)

(9)

4ω2[xsinλ+(z-h)cosλ]cosλ

(10)

由于ω很小，其高阶项ω2可略去，则式(8)、(9)、(10)可化简为

(11)

(12)

(13)

2 考虑地球自转情况下的平抛物体的运动规律

对式(11)、(12)、(13)利用初始条件进行积分，可以得到速度分量为

(14)

(15)

(16)

对式(14)、(15)、(16)利用初始条件进行积分，可以得到运动学方程为

x=v0tcosα+ωv0t2sinαsinλ

(17)

(18)

(19)

3 地球自转对平抛物体落地时间的影响

由式(19)知，当z=0时可以求出物体的下落时间为

(20)

由式(20)可知考虑地球自转后，受科里奥利力影响，平抛物体落地时间变长了.

4 地球自转对平抛体落地偏移量的影响

由式(17)和式(18)可知，考虑了地球自转后，由于科里奥利力的影响，平抛体落地时产生的偏移量为

Δx=ωv0t2sinαsinλ

(21)

(22)

从式(21)和式(22)可知，落地位置的实际偏离是x，y两个方向偏离分量的合成.

对于x方向的偏离分量Δx，由式(21)知，在初速度v0相同情况下，两极处(λ=±90°)偏移量最大，赤道处(λ=0)偏移量为零；在同纬度下，沿南北方向抛出时(α=0或180°)，Δx偏移分量为零，即不发生南北方向的偏移.

以上抛出时，落地点有东偏分量，否则落地点有西偏分量.